Сравнение результата без точного вычисления при округлении до сотых — рабочий лист для 5 класса

5 класс · углублённый практикум · сравнение по сотым

Один метод — три уровня сложности

Смысл задания — сравнить результаты, не выполняя длинных вычислений с тысячными. Округлите каждое данное число до сотых и сравните полученные прикидки. Но не объявляйте равными исходные выражения только потому, что округлённые суммы совпали.

Гарантия по ошибке. Округление одного исходного числа даёт погрешность не более 0,005. Для сравнения двух одиночных чисел разность прикидок отличается от точной не более чем на 0,01; для двух выражений по два слагаемых или вычитаемых — на 0,02; для двух выражений по три числа — на 0,03. Если модуль разности двух прикидок строго больше соответствующего предела, знак «<» или «>» доказан. В противном случае пишите «по прикидке не доказать» и при необходимости уточняйте разряды.

Уровень 1: сравните два числа

В каждом номере стоит знак □. Замените его обоснованным знаком сравнения. Если округление не решает вопрос, так и отметьте — это грамотный ответ.

1. 4,286 □ 4,251. Выберите «<», «>» или «недостаточно точная прикидка»; объясните.
2. 7,134 □ 7,136. Выберите «<», «>» или «недостаточно точная прикидка»; объясните.
3. 0,975 □ 1,012. Выберите «<», «>» или «недостаточно точная прикидка»; объясните.
4. 12,405 □ 12,401. Выберите «<», «>» или «недостаточно точная прикидка»; объясните.
5. 3,887 □ 3,844. Выберите «<», «>» или «недостаточно точная прикидка»; объясните.
6. 5,024 □ 5,019. Выберите «<», «>» или «недостаточно точная прикидка»; объясните.
7. 6,115 □ 6,145. Выберите «<», «>» или «недостаточно точная прикидка»; объясните.
8. 9,999 □ 10,001. Выберите «<», «>» или «недостаточно точная прикидка»; объясните.

Уровень 2: две суммы или разности

Каждое выражение состоит из двух исходных чисел. Можно ли доказать результат только сотыми? Если нет, подчеркните самый близкий к границе случай.

1. (1,237 + 3,486) □ (2,122 + 2,558). Сравните результаты при округлении каждого числа до сотых.
2. (4,214 + 1,306) □ (2,176 + 3,341). Сравните результаты при округлении каждого числа до сотых.
3. (7,532 — 2,181) □ (3,466 + 1,814). Сравните результаты при округлении каждого числа до сотых.
4. (6,173 — 2,624) □ (4,705 — 1,162). Сравните результаты при округлении каждого числа до сотых.
5. (2,555 + 0,733) □ (1,608 + 1,676). Сравните результаты при округлении каждого числа до сотых.
6. (8,707 — 4,201) □ (5,378 — 0,862). Сравните результаты при округлении каждого числа до сотых.
7. (3,142 + 2,735) □ (2,877 + 2,962). Сравните результаты при округлении каждого числа до сотых.
8. (9,804 — 2,338) □ (6,986 + 0,421). Сравните результаты при округлении каждого числа до сотых.

Уровень 3: составные выражения и граница ошибки

Каждая сторона содержит уже три числа. Вспомните увеличенный предел ошибки 0,03. Если числа кажутся равными из-за округления, не делайте необоснованного вывода. Для трудного задания можно привести конкретную уточняющую цифру из исходной записи.

1. (3,126 + 2,477 + 1,318) □ (2,788 + 2,103 + 1,224). Начните с прикидки до сотых. Укажите, достаточна ли она для строгого вывода.
2. (7,436 — 2,105 + 1,247) □ (5,176 — 1,968 + 0,544). Начните с прикидки до сотых. Укажите, достаточна ли она для строгого вывода.
3. (4,305 + 1,244 — 2,146) □ (3,7 + 1,59 — 1,735). Начните с прикидки до сотых. Укажите, достаточна ли она для строгого вывода.
4. (8,974 — 3,228 + 0,111) □ (7,348 — 1,495 + 0,214). Начните с прикидки до сотых. Укажите, достаточна ли она для строгого вывода.
5. (2,816 + 1,387 + 4,219) □ (3,183 + 2,014 + 3,252). Начните с прикидки до сотых. Укажите, достаточна ли она для строгого вывода.
6. (6,555 — 2,484 + 0,276) □ (4,938 — 0,956 + 1,384). Начните с прикидки до сотых. Укажите, достаточна ли она для строгого вывода.
7. (5,118 + 0,487 — 2,234) □ (4,802 + 0,774 — 2,208). Начните с прикидки до сотых. Укажите, достаточна ли она для строгого вывода.
8. (9,702 — 2,516 + 1,807) □ (8,66 — 1,709 + 0,985). Начните с прикидки до сотых. Укажите, достаточна ли она для строгого вывода.

Полные решения: почему вывод обоснован

В ключе указаны значения после округления, разность прикидок, логическая оценка достаточности и точный контроль. Число после слова «контроль» не нужно заранее вычислять для верного ответа на задание; оно помогает учителю проверить ход рассуждения.

Уровень 1

1. Прикидки 4,29 и 4,25; расхождение 0,04. Знак по прикидке доказан: >.
2. Прикидки 7,13 и 7,14; расхождение 0,01. По сотым уверенный знак не доказывается; исходные значения показывают 7,134 < 7,136.
3. Прикидки 0,98 и 1,01; расхождение 0,03. Знак по прикидке доказан: <.
4. Прикидки 12,41 и 12,40; расхождение 0,01. По сотым уверенный знак не доказывается; исходные значения показывают 12,405 > 12,401.
5. Прикидки 3,89 и 3,84; расхождение 0,05. Знак по прикидке доказан: >.
6. Прикидки 5,02 и 5,02; расхождение 0,00. По сотым уверенный знак не доказывается; исходные значения показывают 5,024 > 5,019.
7. Прикидки 6,12 и 6,15; расхождение 0,03. Знак по прикидке доказан: <.
8. Прикидки 10,00 и 10,00; расхождение 0,00. По сотым уверенный знак не доказывается; исходные значения показывают 9,999 < 10,001.

Уровень 2

1. Прикидки: 4,73 и 4,68; разница 0,05. Она больше 0,02, поэтому знак > доказан без точного вычисления. Контроль: 4,723 > 4,680.
2. Прикидки: 5,52 и 5,52; разница 0,00. Разница не превышает 0,02, одних сотых недостаточно для строгого вывода. Контроль: 5,520 > 5,517.
3. Прикидки: 5,35 и 5,28; разница 0,07. Она больше 0,02, поэтому знак > доказан без точного вычисления. Контроль: 5,351 > 5,280.
4. Прикидки: 3,55 и 3,55; разница 0,00. Разница не превышает 0,02, одних сотых недостаточно для строгого вывода. Контроль: 3,549 > 3,543.
5. Прикидки: 3,29 и 3,29; разница 0,00. Разница не превышает 0,02, одних сотых недостаточно для строгого вывода. Контроль: 3,288 > 3,284.
6. Прикидки: 4,51 и 4,52; разница 0,01. Разница не превышает 0,02, одних сотых недостаточно для строгого вывода. Контроль: 4,506 < 4,516.
7. Прикидки: 5,88 и 5,84; разница 0,04. Она больше 0,02, поэтому знак > доказан без точного вычисления. Контроль: 5,877 > 5,839.
8. Прикидки: 7,46 и 7,41; разница 0,05. Она больше 0,02, поэтому знак > доказан без точного вычисления. Контроль: 7,466 > 7,407.

Уровень 3

1. Округлённые выражения дают 6,93 и 6,11 (разница 0,82). Разница больше 0,03: знак > доказан. Для проверки: 6,921 > 6,115.
2. Округлённые выражения дают 6,58 и 3,75 (разница 2,83). Разница больше 0,03: знак > доказан. Для проверки: 6,578 > 3,752.
3. Округлённые выражения дают 3,40 и 3,55 (разница 0,15). Разница больше 0,03: знак < доказан. Для проверки: 3,403 < 3,555.
4. Округлённые выражения дают 5,85 и 6,06 (разница 0,21). Разница больше 0,03: знак < доказан. Для проверки: 5,857 < 6,067.
5. Округлённые выражения дают 8,43 и 8,44 (разница 0,01). Разница не больше 0,03, доказательства по такой прикидке нет. Для проверки: 8,422 < 8,449.
6. Округлённые выражения дают 4,36 и 5,36 (разница 1,00). Разница больше 0,03: знак < доказан. Для проверки: 4,347 < 5,366.
7. Округлённые выражения дают 3,38 и 3,36 (разница 0,02). Разница не больше 0,03, доказательства по такой прикидке нет. Для проверки: 3,371 > 3,368.
8. Округлённые выражения дают 8,99 и 7,94 (разница 1,05). Разница больше 0,03: знак > доказан. Для проверки: 8,993 > 7,936.

Как обосновать предел прикидки

Возьмём пример с двумя слагаемыми слева и двумя справа. Каждый из четырёх исходных чисел после округления до сотых отличается от нового не более чем на половину сотой, то есть 0,005. В крайнем случае ошибки могут сложиться: 0,005 + 0,005 + 0,005 + 0,005 = 0,020. Значит, если прикидка двух результатов различается на 0,08, истинные значения не могут поменяться местами. Если же различие составляет всего 0,01, такой гарантии нет. Поэтому «не могу доказать по этой оценке» — не слабость решения, а точный математический вывод. В заданиях третьего уровня участвуют шесть исходных чисел, и предельная суммарная погрешность возрастает до 0,030.

Два разобранных трудных случая

Если для двух сложных выражений получились прикидки 6,25 и 6,26, разница 0,01 меньше 0,03. Это не доказывает, что второе исходное выражение больше: ошибки округления могли изменить порядок. Если же прикидки равны 6,25 и 6,35, разница 0,10 больше 0,03, поэтому первое исходное выражение строго меньше второго.

Не путайте округление каждого слагаемого с округлением только итогового результата. Последний способ требует точного вычисления и к задачам раздела не относится. При желании сравните эффективность обоих методов на одном из примеров третьего уровня.