Сравнение результата без точного вычисления при разных количествах знаков после запятой — самостоятельная работа, 5 класс

5 класс · прикладной лист · сравнение разных десятичных записей

Ситуация: две полосы для демонстрационного стенда

В школьной мастерской собирают образцы из двух полос материала. Длина каждой полосы записана с той точностью, с какой её измерили: где-то один знак после запятой, где-то три. Нужно выбрать подходящий комплект для стенда, сравнивать результаты быстро и понимать, когда грубая оценка перестаёт работать. Все величины измеряются в метрах.

Модель: общая длина L = длина первой полосы + длина второй полосы. Нули в конце десятичной дроби не меняют её значения: 1,2 = 1,200, 2,30 = 2,300. Но записанная точность измерений не всегда одинакова. При сравнении удобно приводить числа к одному количеству десятичных разрядов, дописывая нули справа.

Вопросы по таблице: решите и поясните

1. Сравните комплекты А и Б по общей длине. Сможет ли округление всех исходных чисел до сотых доказать, какой длиннее?
2. Сравните общую длину комплектов В и Г. Почему один только результат округления до сотых может не дать ответа?
3. Какой из комплектов Д и Е длиннее? Покажите проверку в тысячных, если округление до сотых оказалось недостаточным.
4. Для стенда нужна общая длина не меньше 3,54 м. Какие комплекты подходят? Объясните, что значит «не меньше».
5. Сравните только первые полосы комплектов Б и В, не складывая длины двух полос. На сколько они различаются?
6. Сравните только вторые полосы комплектов Г и В. Какой отрезок длиннее и на сколько метров?
7. Назовите комплект с самой маленькой общей длиной. Запишите, как проверили его по таблице.
8. Сначала округлите каждую полосу Д и Е до сотых, затем найдите общие приблизительные длины. Одинаковы ли они?
9. Найдите общую длину А и округлите её до сотых. Сравните с суммой полос А, если сначала округлить до сотых каждую полосу.
10. Ученик записал «1,2 < 1,175, потому что у второго числа больше цифр». Проверьте этот вывод и объясните ошибку.
11. Разница суммарных длин Д и Е нужна в сантиметрах. Сколько сантиметров составляет эта разница? (1 м = 100 см.)
12. Учителю нужны любые два комплекта общей длиной более 3,54 м. Выберите их и запишите запас длины каждого сверх 3,54 м.

Проверка разумности

При выборе комплекта не путайте разницу в тысячных метра с разницей в сотых. Например, 0,004 м — это 0,4 см, а 0,04 м — уже 4 см. Суммы в таблице находятся около 3,5–3,6 м: ответ вроде 35,2 м явно противоречит оценке порядка величины.

Ключ с решениями и замечаниями

1. А: 3,545 м, Б: 3,525 м. А длиннее на 0,020 м. После округления исходных полос до сотых прикидки составляют 3,55 и 3,53; разница 0,02, а при двух слагаемых погрешность сравнения может быть до 0,02: для безусловного строгого доказательства по общей оценке лучше уточнить до тысячных.
2. В: 1,205 + 2,315 = 3,520 м; Г: 1,21 + 2,314 = 3,524 м. Г длиннее на 0,004 м. При округлении слагаемых до сотых: В ≈ 1,21 + 2,32 = 3,53; Г ≈ 1,21 + 2,31 = 3,52. Разница прикидок всего 0,01 м, меньше предела ошибки сравнения 0,02 м, поэтому грубая прикидка даже предлагает неверный порядок; уточняйте тысячные.
3. Д: 3,582 м, Е: 3,579 м. Д длиннее на 0,003 м. Округление до сотых даёт 1,18 + 2,41 = 3,59 и 1,18 + 2,40 = 3,58; нужен более точный контроль.
4. Подходят А, Д, Е: их точные общие длины 3,545 м, 3,582 м и 3,579 м. Словосочетание «не меньше» допускает также ровно 3,54 м, но таких комплектов в таблице нет.
5. Первая полоса Б 1,225 м больше полосы В 1,205 м на 0,020 м; количество знаков после запятой приводим к одинаковому.
6. Вторая полоса Г = 2,314 м, В = 2,315 м; длиннее полоса В на 0,001 м.
7. Минимум у комплекта В: 3,520 м. У Г 3,524 м, у Б 3,525 м — они чуть больше.
8. Д после округления частей: 1,18 + 2,41 = 3,59 м; Е: 1,18 + 2,40 = 3,58 м. Прикидки различаются, но на 0,01 м — это меньше возможной общей границы ошибки 0,02 м; по одной прикидке строгий вывод не доказан.
9. Для А точная сумма 1,2 + 2,345 = 3,545 м, округлённый результат 3,55 м. Если сначала округлить полосы: 1,20 + 2,35 = 3,55 м; здесь ответы совпали, но так бывает не всегда.
10. Утверждение неверно: 1,2 = 1,200, а 1,200 > 1,175. Важна величина в соответствующих разрядах, а не число написанных цифр.
11. Разность Д − Е = 0,003 м = 0,3 см.
12. Подойдут любые два из А, Д, Е. Запас сверх 3,54 м: А — 0,005 м, Д — 0,042 м, Е — 0,039 м. По условию достаточно указать два из трёх.

Совет для работы с таблицей: записывайте длины под одинаковыми разрядами: единицы под единицами, десятые под десятыми, сотые под сотыми, тысячные под тысячными. Дописывание нулей справа законно, а перестановка запятой недопустима. Сравнение «кто больше» и поиск величины превышения — два различных вопроса: для первого иногда достаточно ориентировочной оценки, а для второго потребуется вычисление разности. В ответе к пороговым задачам обязательно указывайте метры.

Вывод для класса: запись с разным числом десятичных знаков не означает разный порядок величины; удобны дописывание нулей и работа с тысячными, когда суммы слишком близки. Для грубого отбора комплектов прикидка достаточна, но при споре на несколько миллиметров требуется уточнение.