Сравнение скоростей изменения двух функций для прямых с противоположными наклонами: диагностика ошибок, 7 класс

Найдите ошибки в рассуждениях: положительный наклон означает рост, отрицательный — убывание. Слова «быстрее изменяется» требуют уточнения: сравниваем изменение со знаком или его абсолютную величину?

Пять ошибочных выводов — сначала исправьте их

1. Ошибка 1. «У прямых f(x) = 4x + 1 и g(x) = −4x + 9 первая изменяется быстрее: её наклон положителен.» Найдите конкретную ошибку и исправьте вывод.
2. Ошибка 2. «Для f(x) = −6x + 3 и g(x) = 2x − 1 вторая изменяется быстрее, потому что растёт.» Найдите конкретную ошибку и исправьте вывод.
3. Ошибка 3. «Для f(x) = 2x + 4 за три шага вправо значение функции увеличится на 2.» Найдите конкретную ошибку и исправьте вывод.
4. Ошибка 4. «У f(x) = −0,5x + 1 и g(x) = 0,5x + 1 одинаковые графики, поскольку свободные члены совпадают.» Найдите конкретную ошибку и исправьте вывод.
5. Ошибка 5. «Если f(x) = 3x + 1 и g(x) = −3x + 4, то при x = 2 расстояние между ординатами равно 6.» Найдите конкретную ошибку и исправьте вывод.

Как различить направление и скорость изменения

Для линейной функции y = kx + b при изменении аргумента на Δx ордината меняется на Δy = k·Δx. Если k положительно, она растёт; если k отрицательно, уменьшается. Если наклоны противоположны, k и −k, значения Δy также противоположны, а их модули одинаковы для одинакового шага по x. Свободный член b задаёт вертикальный сдвиг, но не скорость изменения.

Десять заданий для закрепления

6. Сравните направления и величину изменения f(x) = 7x − 1 и g(x) = −7x + 2 при увеличении x на 1.
7. Для f(x) = −4x + 8 и g(x) = 4x − 8 найдите изменение обеих функций при Δx = 3.
8. Правда ли, что для y = 5x + 9 и y = −5x + 9 ординаты равны при любом x?
9. Одна прямая имеет наклон −2, другая +2. Какая быстрее изменяется по модулю и какая растёт?
10. В таблице x увеличился с −1 до 2. Как изменятся f = 3x + 4 и g = −3x − 2?
11. У двух функций наклоны −1/2 и +1/2. Чему равны изменения за 6 шагов вправо?
12. Может ли при одинаковом модуле наклонов одна прямая идти вниз, а другая вверх? Покажите на примере.
13. Сравните средние изменения f(x) = −8x + 5 и g(x) = 8x − 5 на участке x от 0 до 2.
14. В формулах y = 4x − 100 и y = −4x + 100 назовите скорость изменения независимо от огромных свободных членов.
15. При переходе x от 1 до 4 первая функция увеличилась на 15, вторая уменьшилась на 15. Найдите их наклоны.

Ключ с обоснованиями

1. Неверно. За шаг Δx = 1 f увеличивается на 4, g уменьшается на 4; скорости по модулю равны 4, направления противоположны.
2. Неверно. Модуль наклона первой равен 6, второй — 2. Первая убывает в три раза быстрее по абсолютной величине изменения.
3. Неверно. Изменение Δy = k·Δx = 2·3 = 6. Число 2 означает увеличение только за один шаг по x.
4. Неверно. Наклоны противоположные, графики имеют общую точку (0; 1), но при x = 2 дают 0 и 2.
5. Неверно. f(2) = 7, g(2) = −2; разность ординат |7 − (−2)| = 9. Коэффициенты наклона не равны расстоянию между графиками.
6. f возрастает на 7, g убывает на 7. Модули изменений равны.
7. Δf = −4·3 = −12, Δg = 4·3 = 12; по модулю изменения равны 12.
8. Нет. При x = 0 обе ординаты 9, но при x = 1 получаются 14 и 4.
9. Обе изменяются с одинаковой скоростью по модулю 2 на единицу x. Растёт вторая, первая убывает.
10. Δx = 3; Δf = 9 и Δg = −9. Свободные члены не влияют на изменение.
11. Первая меняется на −3, вторая на +3: Δy = k·6.
12. Да. Например, y = −3x + 1 убывает на 3 за шаг, y = 3x + 1 возрастает на 3.
13. f меняется на −16, g — на +16; на один шаг соответственно −8 и +8.
14. По знаку: +4 и −4 за единицу x. По модулю: одинаково 4; свободные члены на скорость не влияют.
15. Δx = 3. Первый наклон 15 : 3 = 5, второй −15 : 3 = −5; они противоположны.

Самопроверка: три вопроса перед сдачей

1. Указали ли вы знак изменения? 2. Сравнивали ли равные шаги по x? 3. Отделили ли сравнение наклонов от сравнения высот двух прямых в конкретной точке? Если ответ «нет» хотя бы на один вопрос, вывод о скорости изменения может оказаться неверным.

Главная идея: прямые с наклонами 4 и −4 имеют противоположные направления, но одинаковые абсолютные изменения при одинаковом шаге. Одно выражение растёт на столько же, на сколько другое убывает; расположение прямых на координатной плоскости определяется также свободными членами.