Сравнение сумм прогрессий по трём несоседним членам — задачи с решениями для 9 класса

Табличный практикум: три известные позиции не заменяют сумму

Перед вами две геометрические прогрессии A и Б. Для каждой даны только три несоседних члена: второй, четвёртый и шестой. В этом практикуме первые члены и знаменатели положительны (a₁>0, q>0). Нужно восстановить сумму первых n членов каждой прогрессии и сравнить результаты. Нельзя складывать только три известных числа: между ними пропущены другие члены.

Поскольку a₄/a₂=q² и a₆/a₄=q², сначала проверяют равенство a₄²=a₂·a₆. Если данные согласованы и q>0, то q=√(a₄/a₂), затем a₁=a₂/q. Сумма: Sₙ=a₁(1+q+…+qⁿ⁻¹). При q≠1 её можно рассчитать как a₁(qⁿ−1)/(q−1); при q=1 сумма n·a₁. Если не заданы ограничения знаков a₁ и q, по чётным индексам 2, 4, 6 можно получить два знака знаменателя и два разных значения суммы.

Как читать исходную таблицу

Пример чтения строки №1: для A известно 6, 24, 96, поэтому q²=24/6=4, q=2, a₁=6/2=3. Для Б известно 10, 40, 160, поэтому q=2, a₁=5. Суммы первых четырёх членов: A=3+6+12+24=45, Б=5+10+20+40=75. Отсюда 45<75. Сравнение одних только шестых членов дало бы случайно тот же порядок, но не доказало бы сравнения сумм.

Задания 1–8: восстановление членов и сравнение

Для каждой строки восстановите a₁ и положительный q у обеих прогрессий. Запишите хотя бы первые четыре члена, вычислите обе суммы Sₙ и подчеркните знак сравнения. Если дроби получаются обыкновенными, их не нужно округлять до десятых.

1. Строка 1. Сопоставьте суммы двух прогрессий из таблицы при n=4. Обоснуйте, почему вычисление q не зависит от выбора пары a₂,a₄ или a₄,a₆.
2. Строка 2. Сопоставьте суммы двух прогрессий из таблицы при n=5. Обоснуйте, почему вычисление q не зависит от выбора пары a₂,a₄ или a₄,a₆.
3. Строка 3. Сопоставьте суммы двух прогрессий из таблицы при n=4. Обоснуйте, почему вычисление q не зависит от выбора пары a₂,a₄ или a₄,a₆.
4. Строка 4. Сопоставьте суммы двух прогрессий из таблицы при n=6. Обоснуйте, почему вычисление q не зависит от выбора пары a₂,a₄ или a₄,a₆.
5. Строка 5. Сопоставьте суммы двух прогрессий из таблицы при n=5. Обоснуйте, почему вычисление q не зависит от выбора пары a₂,a₄ или a₄,a₆.
6. Строка 6. Сопоставьте суммы двух прогрессий из таблицы при n=4. Обоснуйте, почему вычисление q не зависит от выбора пары a₂,a₄ или a₄,a₆.
7. Строка 7. Сопоставьте суммы двух прогрессий из таблицы при n=6. Обоснуйте, почему вычисление q не зависит от выбора пары a₂,a₄ или a₄,a₆.
8. Строка 8. Сопоставьте суммы двух прогрессий из таблицы при n=5. Обоснуйте, почему вычисление q не зависит от выбора пары a₂,a₄ или a₄,a₆.

Задания 9–16: доказательство и обратная проверка

9. Строка 9. Установите S(A) и S(Б) и проверьте найденный a₁ обратным вычислением шестого члена a₆=a₁q⁵; объясните результат сравнения.
10. Строка 10. Установите S(A) и S(Б) и проверьте найденный a₁ обратным вычислением шестого члена a₆=a₁q⁵; объясните результат сравнения.
11. Строка 11. Установите S(A) и S(Б) и проверьте найденный a₁ обратным вычислением шестого члена a₆=a₁q⁵; объясните результат сравнения.
12. Строка 12. Установите S(A) и S(Б) и проверьте найденный a₁ обратным вычислением шестого члена a₆=a₁q⁵; объясните результат сравнения.
13. Строка 13. Установите S(A) и S(Б) и проверьте найденный a₁ обратным вычислением шестого члена a₆=a₁q⁵; объясните результат сравнения.
14. Строка 14. Установите S(A) и S(Б) и проверьте найденный a₁ обратным вычислением шестого члена a₆=a₁q⁵; объясните результат сравнения.
15. Строка 15. Установите S(A) и S(Б) и проверьте найденный a₁ обратным вычислением шестого члена a₆=a₁q⁵; объясните результат сравнения.
16. Строка 16. Установите S(A) и S(Б) и проверьте найденный a₁ обратным вычислением шестого члена a₆=a₁q⁵; объясните результат сравнения.

Найдите противоречия до проверки ключа

1. Ученик заявил, что числа a₂=8, a₄=32, a₆=126 принадлежат одной геометрической прогрессии. Найдите несоответствие без восстановления a₁.
2. Для a₂=6, a₄=24, a₆=96 ученик записал q=4, потому что a₄/a₂=4. Почему это ошибка?
3. Если не заданы требования положительности a₁ и q, достаточно ли членов a₂=6, a₄=24, a₆=96 для однозначного восстановления S₄? Приведите оба варианта.

Ключ с вычислениями

1. № 1. A: q=√(24/6)=2, a₁=3, S₄=45; Б: q=2, a₁=5, S₄=75. Значит S(A) < S(Б). Проверка трёх индексов: A — 6·96=(24)², Б — 10·160=(40)².
2. № 2. A: q=√(54/6)=3, a₁=2, S₅=242; Б: q=2, a₁=4, S₅=124. Значит S(A) > S(Б). Проверка трёх индексов: A — 6·486=(54)², Б — 8·128=(32)².
3. № 3. A: q=√(12/48)=1/2, a₁=96, S₄=180; Б: q=3, a₁=2, S₄=80. Значит S(A) > S(Б). Проверка трёх индексов: A — 48·3=(12)², Б — 6·486=(54)².
4. № 4. A: q=√(32/8)=2, a₁=4, S₆=252; Б: q=1/2, a₁=64, S₆=126. Значит S(A) > S(Б). Проверка трёх индексов: A — 8·128=(32)², Б — 32·2=(8)².
5. № 5. A: q=√(54/6)=3, a₁=2, S₅=242; Б: q=2, a₁=8, S₅=248. Значит S(A) < S(Б). Проверка трёх индексов: A — 6·486=(54)², Б — 16·256=(64)².
6. № 6. A: q=√(20/80)=1/2, a₁=160, S₄=300; Б: q=2, a₁=6, S₄=90. Значит S(A) > S(Б). Проверка трёх индексов: A — 80·5=(20)², Б — 12·192=(48)².
7. № 7. A: q=√(27/3)=3, a₁=1, S₆=364; Б: q=1/2, a₁=128, S₆=252. Значит S(A) > S(Б). Проверка трёх индексов: A — 3·243=(27)², Б — 64·4=(16)².
8. № 8. A: q=√(64/16)=2, a₁=8, S₅=248; Б: q=3, a₁=3, S₅=363. Значит S(A) < S(Б). Проверка трёх индексов: A — 16·256=(64)², Б — 9·729=(81)².
9. № 9. A: q=√(16/64)=1/2, a₁=128, S₄=240; Б: q=2, a₁=7, S₄=105. Значит S(A) > S(Б). Проверка трёх индексов: A — 64·4=(16)², Б — 14·224=(56)².
10. № 10. A: q=√(81/9)=3, a₁=3, S₆=1092; Б: q=1/2, a₁=96, S₆=189. Значит S(A) > S(Б). Проверка трёх индексов: A — 9·729=(81)², Б — 48·3=(12)².
11. № 11. A: q=√(48/12)=2, a₁=6, S₅=186; Б: q=1/2, a₁=160, S₅=310. Значит S(A) < S(Б). Проверка трёх индексов: A — 12·192=(48)², Б — 80·5=(20)².
12. № 12. A: q=√(8/32)=1/2, a₁=64, S₄=120; Б: q=3, a₁=4, S₄=160. Значит S(A) < S(Б). Проверка трёх индексов: A — 32·2=(8)², Б — 12·972=(108)².
13. № 13. A: q=√(40/10)=2, a₁=5, S₆=315; Б: q=1/2, a₁=224, S₆=441. Значит S(A) < S(Б). Проверка трёх индексов: A — 10·160=(40)², Б — 112·7=(28)².
14. № 14. A: q=√(54/6)=3, a₁=2, S₅=242; Б: q=2, a₁=9, S₅=279. Значит S(A) < S(Б). Проверка трёх индексов: A — 6·486=(54)², Б — 18·288=(72)².
15. № 15. A: q=√(56/14)=2, a₁=7, S₄=105; Б: q=1/2, a₁=128, S₄=240. Значит S(A) < S(Б). Проверка трёх индексов: A — 14·224=(56)², Б — 64·4=(16)².
16. № 16. A: q=√(32/128)=1/2, a₁=256, S₆=504; Б: q=3, a₁=2, S₆=728. Значит S(A) < S(Б). Проверка трёх индексов: A — 128·8=(32)², Б — 6·486=(54)².

Решения к противоречиям

1. Нет: 32²=1024, а 8·126=1008. Средний член в квадрате не равен произведению крайних. Если бы данные были согласованы, a₆=128.
2. Отношение a₄/a₂=q²=4, поэтому положительное q=2, не 4. При a₁=3 четвертый член равен 24, шестой 96.
3. Нет. При q=2, a₁=3 сумма S₄=45. При q=−2, a₁=−3 суммы первых четырёх членов: −3+6−12+24=15. Оба набора дают одинаковые чётные индексы 6, 24, 96. Ограничение q>0 делает ответ однозначным.

Итог: сначала докажите совместимость данных, потом восстановите q с учётом знака, и только затем вычисляйте сумму. Формула суммы — заключительный шаг, а не инструмент, которым можно заменить проверку трёх несоседних членов.