Сравнение выражений с корнями при рационализации знаменателя — карточки с ответами, 8 класс

Маршрут из 18 заданий · 8 класс · Квадратные корни

Каждый переход маршрута посвящён сравнению двух положительных или допускающих знак выражений с корнями и знаменателями. Двигайтесь от случая 1/√n к сопряжённым выражениям; если допущена ошибка, вернитесь к соответствующему правилу перед следующей ступенью.

Старт: два равносильных представления дроби

Если n > 0, то 1/√n = √n/n. Дробь можно умножить на √n/√n, потому что √n ≠ 0. Для двухчленного знаменателя применяется разность квадратов: 1/(√a + √b) = (√a − √b)/(a − b), если a,b ≥ 0 и a ≠ b. Нельзя использовать эту запись без проверки, что знаменатель исходной дроби не нулевой.

Ступень 1 — лёгкий старт (1–6)

1. 1/√5 □ √5/5
2. 3/√7 □ √7/2
3. 4/√11 □ √11/3
4. 2/√3 □ 3/√3
5. 5/√13 □ √13/2
6. 8/√15 □ √15/2

Если ошибки обнаружились здесь, повторите действие для дроби со знаменателем √n. Сам корень положителен, поэтому сравнение коэффициентов при одинаковом √n не меняет знак.

Развилка: «ошибка или верно» (7–10)

В следующих записях указан предполагаемый знак равенства. Рядом напишите «верно» или «ошибка», затем исправьте неверную запись с помощью сопряжённого множителя.

7. 1/(√6 + 2) = (√6 − 2)/2
8. 1/(√10 − 3) = √10 + 3
9. 1/(√8 + √3) = (√8 − √3)/11
10. 1/(√14 − √5) = (√14 + √5)/9

Ступень 3 — сравнение после рационализации (11–15)

11. 1/(√7 + √2) □ (√7 − √2)/6
12. 1/(√13 − 2) □ (√13 + 2)/8
13. 1/(√17 + 4) □ √17 − 4
14. 1/(√19 − 3) □ (√19 + 3)/9
15. 2/(√5 + 1) □ (√5 − 1)/2

Финишная проверка (16–18)

16. 3/(√7 − 2) □ √7 + 2
17. 1/(√3 − √2) □ √3 + √2
18. 1/(√11 + √2) □ (√11 − √2)/10

Ответы по маршруту

Разбор трёх решений, на которых чаще спотыкаются

№ 9. Почему появляется разность, а не сумма квадратов

Дано 1/(√8 + √3). Домножаем на (√8 − √3)/(√8 − √3). В знаменателе получается (√8)² − (√3)² = 8 − 3 = 5. Следовательно, верно (√8 − √3)/5. Число 11 — сумма 8 + 3 — не подходит, поскольку смешанный член устраняется именно при перемножении сопряжённых выражений.

№ 12. Сравнение не требует округления √13

Имеем 1/(√13 − 2) = (√13 + 2)/((√13 − 2)(√13 + 2)) = (√13 + 2)/(13 − 4) = (√13 + 2)/9. Числитель √13 + 2 положителен, потому деление на 9 даёт меньший результат, чем деление на 8. Исходный знаменатель √13 − 2 тоже положителен (13 > 4), так что деление допустимо.

№ 18. Меньший знаменатель — большая дробь

После рационализации 1/(√11 + √2) = (√11 − √2)/9. Поскольку √11 > √2, числитель положителен. Тогда (√11 − √2)/9 > (√11 − √2)/10. Если бы числитель был отрицателен, рассуждение о знаменателях пришлось бы пересмотреть; предварительная проверка знака здесь необходима.

Что проверить прежде, чем ставить знак

Рационализация не меняет значение дроби, если мы домножаем числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое выражение. Поэтому важно различать исходный знаменатель и сопряжённый к нему множитель. Например, при √13 − 2 сопряжённое выражение √13 + 2 положительно, а произведение равно 9. Но нельзя механически использовать сопряжённое выражение, не проверив исходную область допустимых значений: делить на ноль запрещено.

В задачах с суммой корней √a + √b знаменатель положителен, если хотя бы одно из a или b строго положительно. В задачах с разностью √a − √b нужно отдельно убедиться, что a ≠ b. Так, дробь 1/(√9 − 3) не имеет смысла — её нельзя «исправить» домножением. Успешная рационализация никогда не превращает недопустимое исходное выражение в допустимое.

Наконец, при сравнении дробей с одинаковым числителем разрешено говорить, что меньший положительный знаменатель даёт большую дробь, только когда числитель положителен. Если числитель отрицателен, знак сравнения меняется. В заданиях № 11, 12, 14 и 18 положительность нужного числителя следует из порядка корней либо из суммы положительных величин. Укажите этот шаг в решении, если работу будут проверять на полноту обоснования.

Личная карта исправления ошибок

• Неверны № 1–6: проверьте, на какой корень домножали числитель и знаменатель, и не меняли ли знак при сравнении положительных множителей.
• Неверны № 7–10: выпишите (x + y)(x − y) = x² − y² и повторите именно шаг со сопряжённым выражением.
• Неверны № 11–18: после рационализации отдельно определяйте знак числителя, а уже затем сравнивайте знаменатели.

Оценка результата: 16–18 верных заданий — уверенный уровень; 12–15 — повторите один тип ошибки; менее 12 — начните со ступени 1 и выполните задания без подсказок повторно. Учитель может начислить один балл за верный знак или оценку «верно/ошибка» и дополнительный балл за аккуратное обоснование.