Сравнение значений функции по двум точкам кривой — задания с разбором, 10 класс

Математика, 10 класс. Короткая диагностика: две точки показательной кривой.

Цель: извлекать сведения из двух заданных точек, различать возрастание и убывание, проверять модель y = a^x либо y = a^x + c и не делать вывод о форме функции без условия о модели.

Три контрольных вопроса без подсказок

В каждой задаче точки записаны как (x; y). Сначала проверьте, принадлежит ли точка предполагаемому графику, затем восстановите основание и сделайте заключение о сравнении. Для функции y = a^x требуется a > 0 и a ≠ 1. У модели без сдвига всегда f(0) = 1; если же указан положительный вертикальный сдвиг c, то f(0) = 1 + c. Две произвольные точки вообще не доказывают, что зависимость показательная: вид модели должен быть дан в условии.

Семь–девять новых задач и ключ

После трёх контрольных задач переходите к заданиям 4–12. Уделите особое внимание задачам 9 и 10, где данные несовместны с предложенной моделью. Нельзя механически «подогнать» неверную точку без изменения класса функции.

1. График y = a^x проходит через A(0; 1), B(1; 2). Найдите a и сравните f(2), f(−1).
2. График y = a^x проходит через A(0; 1), B(1; 1/2). Какая из величин больше: f(−1) или f(2)?
3. Модель y = a^x + c проходит через A(0; 3), B(1; 5). Найдите c, a и сравните f(2), f(0).
4. График y = a^x проходит через (1; 3) и (2; 9). Сравните f(−1) и f(1).
5. График y = a^x проходит через (1; 1/4) и (2; 1/16). Сравните f(−1) и f(0).
6. Модель y = a^x + c проходит через (0; 4) и (1; 6). Сравните f(2) и f(1).
7. Модель y = a^x + c проходит через (0; 5) и (1; 6). Найдите a, c и сравните f(−1), f(1).
8. Модель y = a^x + c проходит через (0; 2) и (1; 3/2). Сравните f(−1), f(2).
9. Может ли график y = a^x проходить через (1; 2) и (2; 8)?
10. Может ли y = a^x с a > 0 проходить через (0; 1) и (1; −2)?
11. График y = a^x проходит через (1; 2), (2; 4). Сравните f(3) и f(4).
12. Модель y = a^x + c проходит через (0; 4), (2; 12). Найдите a, c и сравните f(1), f(2).

Ответы по всем двенадцати заданиям

1. a = 2; f(2) = 4, f(−1) = 1/2, поэтому f(2) > f(−1). Основание больше единицы, функция возрастает.
2. a = 1/2; f(−1) = 2, f(2) = 1/4. Ответ f(−1) > f(2). Функция убывает.
3. 1 + c = 3 ⇒ c = 2; a + 2 = 5 ⇒ a = 3. f(2) = 11 > f(0) = 3.
4. a = 3; 3² = 9 подтверждает модель. f(−1) = 1/3 < f(1) = 3.
5. a = 1/4; f(−1) = 4 > f(0) = 1. Указанные точки согласуются: (1/4)² = 1/16.
6. c = 3, a = 3. f(2) = 9 + 3 = 12 > f(1) = 6.
7. c = 4, a = 2. f(−1) = 1/2 + 4 = 9/2 < f(1) = 6.
8. c = 1, a = 1/2. f(−1) = 3, f(2) = 5/4. Ответ f(−1) > f(2): сдвиг вверх не делает кривую возрастающей.
9. Нет: первая точка задаёт a = 2, тогда при x = 2 значение должно быть 4, а не 8. Условия несовместны для модели без сдвига.
10. Нет: a = f(1) должно быть положительным. При x = 1 значение −2 недопустимо; при x = 0 значение 1 действительно выполняется.
11. a = 2, точки согласованы. f(3) = 8 < f(4) = 16; возрастающий график.
12. c = 3, a² + 3 = 12 ⇒ a² = 9 ⇒ a = 3 (основание строго положительное). f(1) = 6 < f(2) = 12.

Краткие пояснения к спорным ответам

Указание двух точек само по себе позволяет сравнить только соответствующие два значения y, но не доказывает монотонность произвольной кривой между ними. В наших задачах монотонность выводится из дополнительно заданной показательной модели. Когда модель имеет вид y = a^x + c, восстановление a по одной точке возможно лишь после определения сдвига c (например, по точке с x = 0). Нельзя считать f(0) равным единице после вертикального сдвига. Невозможные данные следует обозначать как несовместные, а не выдумывать основание.

Самопроверка и рекомендации

Для диагностики выпишите в каждом пункте: известные точки → вид разрешённой модели → найденные коэффициенты → два значения для сравнения → заключение. Если две точки противоречат модели, ответом служит обоснованное «такой функции нет». При сравнении используйте точные дроби, без округления.