Сравнение значений функции при сдвиге графика вверх — диагностика ошибок, 10 класс

Математика, 10 класс. Диагностика ошибок: сдвиг экспоненты вверх на постоянное число.

Цель: правильно сравнивать значения y = a^x + c при c > 0, различать одинаковый и разный вертикальный сдвиг, обнаруживать ошибки с порядком чисел и выполнять обратную проверку по таблицам значений.

Базовый пример с ошибкой и исправлением

Для f(x) = 2^x + 3 ученик получил f(0) = 4 и f(2) = 7, но написал f(2) < f(0), потому что «всё подняли на три». Правильно: 4 < 7, а добавление одного и того же числа к двум значениям сохраняет их порядок. Сдвиг вверх меняет ординаты, а не показатель степени и не монотонность функции. Для g(x) = (1/2)^x + 3, напротив, g(0) = 4 и g(2) = 3 + 1/4: функция убывает, хотя график находится выше исходного.

Разберите ещё три типичные ошибки

Первая: путать 2^x + 4 с 2^x+4; это разные преобразования графика. Вторая: сравнивать f(x) и g(x) с разными сдвигами, опираясь только на показатели. Третья: думать, что прибавление c делает отрицательные аргументы недопустимыми. У показательной функции a^x, где a > 0 и a ≠ 1, область определения — вся ℝ, при любом x значение положительно.

Карточки с обратной проверкой

В заданиях 1–12 сравните два значения одной сдвинутой функции. В заданиях 13–18 найдите и исправьте ошибки сравнения двух функций либо неравенств. После каждого вычисления выполните обратную проверку: вычтите одинаковую добавку и сопоставьте степени.

1. Для f(x) = (2)^x + 3 сравните f(0) и f(2).
2. Для f(x) = (3)^x + 2 сравните f(-1) и f(1).
3. Для f(x) = (1/2)^x + 5 сравните f(-1) и f(2).
4. Для f(x) = (1/3)^x + 4 сравните f(0) и f(2).
5. Для f(x) = (4)^x + 1 сравните f(1) и f(2).
6. Для f(x) = (2)^x + 6 сравните f(-2) и f(0).
7. Для f(x) = (3/2)^x + 2 сравните f(0) и f(2).
8. Для f(x) = (1/4)^x + 3 сравните f(-1) и f(1).
9. Для f(x) = (5/2)^x + 1 сравните f(0) и f(1).
10. Для f(x) = (2/3)^x + 2 сравните f(-2) и f(1).
11. Для f(x) = (3)^x + 5 сравните f(2) и f(2).
12. Для f(x) = (1/2)^x + 7 сравните f(1) и f(-1).
13. Сравните f(2) = 2² + 5 и g(2) = 2² + 3.
14. Определите, всегда ли 2^x + 4 > 2^x + 1 для действительных x.
15. Ученик утверждает, что 2^x + 3 = 2^x+3. Проверьте при x = 0.
16. Для h(x) = (1/2)^x + 4 решите h(x) > 4 + (1/2)³.
17. Сравните f(0) = 3⁰ + 2 и g(0) = (1/3)⁰ + 2.
18. Если к каждому значению убывающей функции прибавить 9, станет ли она возрастающей?

Полные решения и ключ

1. f(0) = 4 < 7 = f(2). Добавка 3 одинакова для обоих значений; при a > 1 рост x увеличивает f.
2. f(-1) = 7/3 < 5 = f(1). Добавка 2 одинакова для обоих значений; при a > 1 рост x увеличивает f.
3. f(-1) = 7 > 21/4 = f(2). Добавка 5 одинакова для обоих значений; при 0 < a < 1 рост x уменьшает f.
4. f(0) = 5 > 37/9 = f(2). Добавка 4 одинакова для обоих значений; при 0 < a < 1 рост x уменьшает f.
5. f(1) = 5 < 17 = f(2). Добавка 1 одинакова для обоих значений; при a > 1 рост x увеличивает f.
6. f(-2) = 25/4 < 7 = f(0). Добавка 6 одинакова для обоих значений; при a > 1 рост x увеличивает f.
7. f(0) = 3 < 17/4 = f(2). Добавка 2 одинакова для обоих значений; при a > 1 рост x увеличивает f.
8. f(-1) = 7 > 13/4 = f(1). Добавка 3 одинакова для обоих значений; при 0 < a < 1 рост x уменьшает f.
9. f(0) = 2 < 7/2 = f(1). Добавка 1 одинакова для обоих значений; при a > 1 рост x увеличивает f.
10. f(-2) = 17/4 > 8/3 = f(1). Добавка 2 одинакова для обоих значений; при 0 < a < 1 рост x уменьшает f.
11. f(2) = 14 = 14 = f(2). Добавка 5 одинакова для обоих значений; при a > 1 рост x увеличивает f.
12. f(1) = 15/2 < 9 = f(-1). Добавка 7 одинакова для обоих значений; при 0 < a < 1 рост x уменьшает f.
13. f(2) = 9 > g(2) = 7. Основания и аргументы совпадают, но сдвиг +5 больше, чем +3.
14. Да. Разность равна ровно 3 для любого x, поэтому первое значение больше второго независимо от аргумента.
15. Слева 1 + 3 = 4, справа 2³ = 8. Равенство неверно; вверх сдвигает прибавка вне степени.
16. Сокращаем одинаковую добавку 4: (1/2)^x > (1/2)³. Поскольку основание меньше 1, ответ x < 3.
17. Равны: обе нулевые степени равны 1, обе ординаты равны 3. Разная монотонность не означает разных значений в каждой точке.
18. Нет. Если f(x₁) > f(x₂), то f(x₁) + 9 > f(x₂) + 9. Вертикальный сдвиг не меняет порядок.

Что делать, когда сдвиги различаются

Если сравниваются f(x) = a^x + c и g(x) = b^x + d при c ≠ d либо a ≠ b, общая монотонность одной функции не даёт мгновенного ответа. Сначала вычисляйте или преобразуйте выражения, потом сравнивайте. Важный частный случай: если a = b и аргумент тот же, вычитание f(x) − g(x) равно c − d, поэтому разность постоянна. Именно этот приём используется в задании 14.

Разбор обратной проверки на конкретном примере

Возьмём f(x) = (1/3)^x + 4. При x = −1 значение равно 3 + 4 = 7, а при x = 2 — 1/9 + 4 = 37/9. Так как 7 > 37/9, функция на этих двух аргументах убывает, хотя оба значения больше четырёх. Чтобы убедиться, что ответ не получился случайно, вычтем сдвиг: 7 − 4 = 3, 37/9 − 4 = 1/9. Теперь сравниваются обычные степени при одном основании 1/3, и порядок тот же. Такая обратная проверка полезнее простого повторного подсчёта на калькуляторе: она проверяет именно математическую модель.

Проверим другую функцию: g(x) = 3^x + 4. Для тех же аргументов g(−1) = 1/3 + 4 = 13/3, а g(2) = 9 + 4 = 13. Сдвиг остался тем же, но порядок поменялся, потому что основание теперь больше единицы. Значит, величина c не является критерием возрастания или убывания: за это отвечает основание. При ответе на вопрос о монотонности нельзя ограничиваться фразой «график подняли на четыре единицы»; следует назвать диапазон основания и направление изменения степени.

Проверка граничных и спорных ситуаций

В уравнении 2^x + 5 = 5 решения нет, поскольку 2^x строго положительно для всех действительных x. Горизонтальная прямая y = 5 — асимптота, но не достигаемое значение этой функции. Если заменить равенство на 2^x + 5 > 5, оно верно при любом действительном x. Если же поставить знак меньше, решений нет. Это позволяет проверять понимание сдвига не только при сравнении двух конкретных точек, но и при сравнении с уровнем сдвига.

Иногда две записи внешне похожи: 2^x + 1 и 2^x+1. При x = 1 первая даёт 3, вторая — 4. Их нельзя отождествлять, а коэффициент, появляющийся при 2^x+1 = 2·2^x, является множителем, не вертикальным сдвигом. Для функции (1/2)^x + c отрицательный аргумент допустим; например, f(−2) = 4 + c. Считать показатель отрицательным числом не значит считать отрицательной всю степень.

Самопроверка и рекомендации

Перед окончательным ответом посмотрите, где расположено слагаемое c: после степени или в показателе. Затем отдельно оцените монотонность основания a, сравните показатели и проверьте, что к обоим значениям добавлено одно и то же число. Для убывающей экспоненты вертикальный сдвиг вверх не изменяет убывание.