Среднее арифметическое медиана и мода набора данных — карточки по математике для 9 класса

Карточки по статистике • 9 класс • 18 наборов данных. Здесь три разных характеристики одного набора: среднее арифметическое, медиана и мода. Во всех заданиях данные конечны, представляют собой числа без скрытых весов, и каждое наблюдение учитывается ровно столько раз, сколько оно записано.

Таблица-памятка: что именно сравниваем

Пример: 2, 4, 4, 6, 9. Среднее = (2 + 4 + 4 + 6 + 9)/5 = 5; медиана = 4; мода = 4. Порядок записи набора для среднего и моды несущественен, но для медианы список прежде всего нужно отсортировать. Если все пять значений различны, мода отсутствует.

В другом примере 2, 2, 5, 5, 8 встречаются два модальных значения — 2 и 5. Нельзя называть модой число 3,5 только потому, что оно равно среднему двух мод: мода — это реально встречающееся наиболее часто значение. При нескольких модах перечислите все.

Серия А — вычисли три показателя

Карточки 1–6 рассчитаны на быстрый самостоятельный расчёт. Для каждого набора запишите сумму значений, количество наблюдений и отсортированную последовательность; после этого найдите среднее, медиану и моду. Особенно внимательно проверяйте наборы с чётным количеством элементов.

1. Данные: 4, 6, 8, 10, 12. Среднее = ____; медиана = ____; мода = ____.
2. Данные: 3, 3, 7, 9, 13. Среднее = ____; медиана = ____; мода = ____.
3. Данные: 5, 7, 7, 11, 15. Среднее = ____; медиана = ____; мода = ____.
4. Данные: 2, 4, 6, 8. Среднее = ____; медиана = ____; мода = ____.
5. Данные: 1, 2, 2, 3, 4, 4. Среднее = ____; медиана = ____; мода = ____.
6. Данные: 6, 6, 6, 9, 12. Среднее = ____; медиана = ____; мода = ____.

Серия Б — две моды, ни одной моды и повторяющиеся значения

В заданиях 7–12 сначала составьте частотную таблицу: какие разные числа встретились и сколько раз каждое повторялось. Не пытайтесь выбирать «самое большое число» вместо наиболее частого. Для наборов, в которых все значения встречаются по одному разу, в школьном курсе говорим: моды нет.

7. Постройте краткую таблицу частот набора 7, 8, 9, 10, 11, 12; затем определите среднее, медиану и все моды.
8. Постройте краткую таблицу частот набора 4, 5, 5, 5, 9, 10; затем определите среднее, медиану и все моды.
9. Постройте краткую таблицу частот набора 2, 2, 3, 3, 4, 5; затем определите среднее, медиану и все моды.
10. Постройте краткую таблицу частот набора 1, 1, 2, 2, 3, 3; затем определите среднее, медиану и все моды.
11. Постройте краткую таблицу частот набора 8, 8, 8, 9, 10, 11; затем определите среднее, медиану и все моды.
12. Постройте краткую таблицу частот набора 3, 5, 7, 7, 9, 11; затем определите среднее, медиану и все моды.

Практический лист — данные наблюдений

Наборы 13–18 можно трактовать как результаты измерений, результаты нескольких учебных опросов или показатели за отдельные дни. Подпишите единицу измерения условно «баллы», но не приписывайте им реальную статистику. Для каждого набора решите, какой показатель лучше отражает «типичное» значение, и обоснуйте ответ одним предложением.

13. Наблюдались значения 12, 14, 13, 15, 16. Вычислите среднее, медиану и моду; укажите, какой показатель вам кажется наиболее наглядным и почему.
14. Наблюдались значения 6, 7, 7, 8, 8, 8. Вычислите среднее, медиану и моду; укажите, какой показатель вам кажется наиболее наглядным и почему.
15. Наблюдались значения 1, 3, 3, 5, 5, 7. Вычислите среднее, медиану и моду; укажите, какой показатель вам кажется наиболее наглядным и почему.
16. Наблюдались значения 20, 21, 22, 23. Вычислите среднее, медиану и моду; укажите, какой показатель вам кажется наиболее наглядным и почему.
17. Наблюдались значения 4, 4, 6, 8, 10, 12. Вычислите среднее, медиану и моду; укажите, какой показатель вам кажется наиболее наглядным и почему.
18. Наблюдались значения 9, 9, 10, 11, 11, 12, 12. Вычислите среднее, медиану и моду; укажите, какой показатель вам кажется наиболее наглядным и почему.

Полный ключ: значения и способ самопроверки

Сначала проверяйте среднее умножением на число наблюдений: оно должно восстановить сумму набора. Для медианы считайте положение центрального элемента после сортировки. Для моды проверьте частоты каждого различного значения. В задании с несколькими модами неверно указывать только одну из равных по частоте.

1. Сумма 40, наблюдений 5; среднее 8, медиана 8, мода: нет. Упорядоченный набор: 4, 6, 8, 10, 12.
2. Сумма 35, наблюдений 5; среднее 7, медиана 7, мода: 3. Упорядоченный набор: 3, 3, 7, 9, 13.
3. Сумма 45, наблюдений 5; среднее 9, медиана 7, мода: 7. Упорядоченный набор: 5, 7, 7, 11, 15.
4. Сумма 20, наблюдений 4; среднее 5, медиана 5, мода: нет. Упорядоченный набор: 2, 4, 6, 8.
5. Сумма 16, наблюдений 6; среднее 8/3, медиана 5/2, мода: 2, 4. Упорядоченный набор: 1, 2, 2, 3, 4, 4.
6. Сумма 39, наблюдений 5; среднее 39/5, медиана 6, мода: 6. Упорядоченный набор: 6, 6, 6, 9, 12.
7. Сумма 57, наблюдений 6; среднее 19/2, медиана 19/2, мода: нет. Упорядоченный набор: 7, 8, 9, 10, 11, 12.
8. Сумма 38, наблюдений 6; среднее 19/3, медиана 5, мода: 5. Упорядоченный набор: 4, 5, 5, 5, 9, 10.
9. Сумма 19, наблюдений 6; среднее 19/6, медиана 3, мода: 2, 3. Упорядоченный набор: 2, 2, 3, 3, 4, 5.
10. Сумма 12, наблюдений 6; среднее 2, медиана 2, мода: 1, 2, 3. Упорядоченный набор: 1, 1, 2, 2, 3, 3.
11. Сумма 54, наблюдений 6; среднее 9, медиана 17/2, мода: 8. Упорядоченный набор: 8, 8, 8, 9, 10, 11.
12. Сумма 42, наблюдений 6; среднее 7, медиана 7, мода: 7. Упорядоченный набор: 3, 5, 7, 7, 9, 11.
13. Сумма 70, наблюдений 5; среднее 14, медиана 14, мода: нет. Упорядоченный набор: 12, 13, 14, 15, 16.
14. Сумма 44, наблюдений 6; среднее 22/3, медиана 15/2, мода: 8. Упорядоченный набор: 6, 7, 7, 8, 8, 8.
15. Сумма 24, наблюдений 6; среднее 4, медиана 4, мода: 3, 5. Упорядоченный набор: 1, 3, 3, 5, 5, 7.
16. Сумма 86, наблюдений 4; среднее 43/2, медиана 43/2, мода: нет. Упорядоченный набор: 20, 21, 22, 23.
17. Сумма 44, наблюдений 6; среднее 22/3, медиана 7, мода: 4. Упорядоченный набор: 4, 4, 6, 8, 10, 12.
18. Сумма 74, наблюдений 7; среднее 74/7, медиана 11, мода: 9, 11, 12. Упорядоченный набор: 9, 9, 10, 11, 11, 12, 12.

Мини-исследование для обсуждения

Возьмите набор 2, 3, 3, 4, 18. Его среднее = 6, медиана = 3, мода = 3. Добавление одного очень большого значения заметно меняет среднее, но не всегда так же сильно влияет на медиану и моду. Это показывает, почему в реальных данных полезно указывать не один, а несколько показателей.

Для среднего можно использовать контроль «минимум ≤ среднее ≤ максимум». Для медианы этот контроль также выполняется. Мода, если она существует, обязана совпадать с одним из значений набора. Если сумма пяти положительных чисел равна 30, а ученик получил среднее 60, очевидно, он перепутал умножение и деление.

В работе для 9 класса достаточно аккуратных дробей и десятичных чисел. Возможное различие программ РФ и Казахстана касается порядка введения статистических терминов; учитель может использовать только те карточки, к которым класс уже подготовлен. Для повторения полезно предложить школьнику придумать набор с двумя модами и набор без моды, а затем взаимно проверить примеры.