Сумма двух модулей на координатной прямой: задания от простого к сложному, 8 класс

Здесь модуль — это длина пути по прямой. Выражение |x − a| + |x − b| задаёт сумму расстояний от точки x до двух точек a и b. В этой работе не требуется решать уравнения с двумя модулями методом полного перебора четырёх знаковых случаев: сначала используем геометрию.

Что происходит между двумя пунктами

Пусть a = −2, b = 4. При x = 0 сумма равна |0 + 2| + |0 − 4| = 2 + 4 = 6. При x = 3 сумма равна 5 + 1 = 6. При x = −5 она увеличивается до 12. Причина: для любой точки на отрезке [a; b] сумма расстояний равна b − a; за его пределами она больше.

Отсюда видно: если заданная сумма меньше 6 — решений нет; если равна 6 — подходит целый отрезок; если больше 6 — обычно есть две точки за его пределами. Уточнение: при совпадающих a и b минимум достигается в единственной точке.

Уровень 1 — прочитай сумму расстояний

1. Вычислите |0 + 2| + |0 − 4|.
2. Вычислите |−5 + 2| + |−5 − 4|.
3. Вычислите |7 + 2| + |7 − 4|.
4. Вычислите |4 + 2| + |4 − 4|.
5. Вычислите |−2 + 2| + |−2 − 4|.
6. Найдите минимум |x + 3| + |x − 5|.
7. На каком отрезке минимальна сумма |x − 1| + |x − 9|?
8. Решите |x − 1| + |x − 5| = 4.

Уровень 2 — уравнение и геометрическая оценка

Прежде чем раскрывать модули, найди расстояние между двумя закреплёнными точками. Это нижняя граница суммы.

9. Решите |x + 2| + |x − 4| = 10.
10. Решите |x + 2| + |x − 4| = 5.
11. Решите |x + 3| + |x − 1| = 8.
12. Решите |x + 1| + |x − 5| = 6.
13. Решите |x + 1| + |x − 5| = 9.
14. Решите |x − 2| + |x − 8| = 3.
15. Решите |x − 2| + |x − 8| = 6.
16. Решите |x + 6| + |x + 1| = 7.

Уровень 3 — объясни количество решений

17. Решите |x + 4| + |x + 1| = 7.
18. Решите |x| + |x − 3| = 3.
19. Решите |x| + |x − 3| = 4.
20. Где минимальна величина |x − 2| + |x − 2|?
21. Решите |x + 6| + |x − 2| = 6.
22. Решите |x + 6| + |x − 2| = 10.
23. Решите |x − 3| + |x − 9| = 12.
24. Две точки расположены в 2 и 7. Чему равна сумма расстояний до них для x = 4,5?

Подробная проверка

1. 6. 2 + 4 = 6; точка 0 между −2 и 4.
2. 12. 3 + 9 = 12.
3. 12. 9 + 3 = 12.
4. 6. 6 + 0 = 6.
5. 6. 0 + 6 = 6.
6. 8. Расстояние между −3 и 5 — 8.
7. [1; 9]. Любое x между 1 и 9 даёт сумму 8.
8. x ∈ [1; 5]. Минимальная сумма равна расстоянию 5 − 1 = 4.
9. x = −4 или 6. Слева от −2 сумма 2 − 2x; справа от 4 — 2x − 2.
10. нет решений. Сумма расстояний не меньше 6.
11. x = −5 или 3. Между −3 и 1 сумма 4, за пределами растёт на 2 за единицу.
12. x ∈ [−1; 5]. Это минимальная сумма, равная расстоянию между −1 и 5.
13. x = −2,5 или 6,5. За пределами [−1; 5] нужно добавить 3 к минимуму, то есть отступить по 1,5.
14. нет решений. Между 2 и 8 расстояние 6, меньше быть не может.
15. x ∈ [2; 8]. Сумма равна 6 на всём отрезке.
16. x = −7 или 0. Базовая длина от −6 до −1 равна 5; добавка 2 означает отступить на 1.
17. x = −6 или 1. Расстояние между −4 и −1 равно 3, добавка 4 даёт по 2 за пределами.
18. x ∈ [0; 3]. Это все точки между 0 и 3.
19. x = −0,5 или 3,5. Минимум 3, лишняя единица соответствует отступу 0,5.
20. x = 2, минимум 0. Оба расстояния нулевые только при x = 2.
21. нет решений. Между −6 и 2 расстояние 8.
22. x = −7 или 3. Минимум 8; добавка 2 требует отступа на 1.
23. x = 0 или 12. Базовое расстояние 6, добавка 6 даёт отступ на 3.
24. 5. 2,5 + 2,5 = 5; x расположен между заданными точками.

Два метода одного решения

Геометрический: для |x + 2| + |x − 4| = 10 расстояние между опорными точками равно 6; избыток 4 разделяется поровну на две части, потому что при выходе за границу обе дистанции вместе растут вдвое быстрее. Поэтому получаем x = −4 и x = 6.

Алгебраический: вне отрезка [−2; 4] используются формулы 2 − 2x = 10 (x = −4) и 2x − 2 = 10 (x = 6). Оба значения принадлежат своим промежуткам. На самом отрезке сумма равна 6, значит других корней нет.

Типичная ловушка: если равенство получено при минимальной сумме, ответом может быть не два отдельных числа, а целый отрезок. Для |x − 2| + |x − 8| = 6 правильный ответ [2; 8].

Почему при увеличении суммы появляются две внешние точки

Пусть a < b, а расстояние между ними D = b − a. Для всякого x от a до b сумма |x − a| + |x − b| равна D. Сдвинем x левее a на t единиц. Первое расстояние станет равно t, второе — D + t; их сумма станет D + 2t. Справа от b получаем ту же формулу D + 2t. Значит, если требуется сумма S > D, отступ от ближайшего конца равен t = (S − D)/2. Именно это объясняет ответы в задачах 9, 11, 13, 16, 17, 19, 22 и 23.

Проверка задачи 13: опорные точки −1 и 5, базовое расстояние D = 6. Требуемая сумма 9 больше минимума на 3, поэтому t = 1,5. Слева получим −1 − 1,5 = −2,5, справа 5 + 1,5 = 6,5. Подстановка: |−2,5 + 1| + |−2,5 − 5| = 1,5 + 7,5 = 9; для 6,5 сумма 7,5 + 1,5 = 9.

Проверка задачи 16: точки −6 и −1, D = 5, S = 7, t = 1. Корни −7 и 0. Убедитесь, что |−7 + 6| + |−7 + 1| = 1 + 6 = 7 и |0 + 6| + |0 + 1| = 6 + 1 = 7.

Особый случай совпадающих точек

Если a = b, выражение становится 2|x − a|. Минимум равен 0 и достигается только при x = a, а не на отрезке ненулевой длины. Поэтому задача 20 требует одного конкретного x. Если бы значение суммы было положительным, у такого уравнения имелись бы два корня a ± S/2. Не переносите без проверки формулу «целый отрезок решений» на совпадающие опорные точки.

Для контроля подставляйте ответ в исходную сумму модулей, а не только в одну ветвь полученного линейного уравнения. Односторонняя формула допустима только при принадлежности найденного числа соответствующему промежутку.