Свойство серединного перпендикуляра к хорде для 8 класса — упражнения с разбором

Разбор по шагам, 8 класс. Главный предмет этого листа — свойство серединного перпендикуляра к хорде: почему центр окружности лежит на нём и какие геометрические выводы отсюда следуют. В задачах AB, CD и другие отрезки — хорды одной окружности с центром O, если не оговорено иное.

Стартовая задача: где проходит линия через центр?

Дана окружность с центром O и хорда AB, не являющаяся диаметром. Середина хорды — M. Постройте треугольники OAM и OBM. Радиусы OA и OB равны, половины AM и MB равны, OM — общая сторона. Значит треугольники равны по трём сторонам. Углы OMA и OMB равны; они смежные, поэтому оба по 90°. Следовательно, OM — серединный перпендикуляр к AB.

Два метода доказательства

Метод 1. Равенство треугольников

1. Найдите равные радиусы OA и OB.
2. Разделите хорду в M пополам и получите AM=MB.
3. Примените признак равенства по трём сторонам к OAM и OBM. Равные смежные углы при M прямые.

Метод 2. Геометрическое место точек

Центр O удовлетворяет OA=OB, поэтому принадлежит множеству всех точек, равноудалённых от A и B. Это множество — серединный перпендикуляр к AB. Метод короче, если изучена соответствующая теорема; метод равенства треугольников лучше поясняет, почему угол именно прямой.

Обратная теорема и границы рисунка

Верно и обратное свойство: перпендикуляр из центра окружности к хорде делит хорду пополам. Доказательство почти такое же. Пусть OH ⟂ AB. Треугольники OHA и OHB прямоугольные, OA=OB как радиусы, OH — общий катет. Значит они равны по гипотенузе и катету, откуда AH=HB. Именно поэтому на чертеже можно восстановить полную длину хорды по одной её половине.

Если прямая через середину хорды перпендикулярна хорде, то центр обязан находиться на этой прямой. Но неизвестно, с какой стороны от хорды он находится: короткая хорда может лежать далеко от центра, а хорда, проходящая через центр, сама оказывается диаметром. Для диаметра середина равна O, и обычный отрезок OM вырожден в точку. Геометрическое утверждение в таком случае формулируют о перпендикулярной прямой через центр, а не о ненулевом отрезке.

Почему «короче» не означает «по памяти»

Для проверки полезно отделять условие от вывода. Из OA=OB следует, что O лежит на серединном перпендикуляре к AB; из OM ⟂ AB и O — центр, следует AM=MB. Нельзя по одному лишь рисунку принять произвольную точку M на хорде за её середину. Нельзя также заменить слово «хорда» словом «касательная»: касательная имеет с окружностью одну общую точку, а хорда — два различных конца.

В вычислительных примерах через центр O и середину M используйте прямоугольный треугольник OMA: радиус OA — его гипотенуза, а OM и AM — катеты. Если известны радиус и половина хорды, то OM=√(OA²−AM²). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: половина хорды не превышает радиус. В ответе на длину выбирайте неотрицательное значение корня, поскольку отрицательное расстояние в геометрии не имеет смысла.

Упражнения с частичными подсказками

Понять построение (1–6)

1. В окружности центра O хорда AB имеет середину M. Докажите, что OM ⟂ AB, если O не лежит на AB.
2. В предыдущем случае укажите два равных отрезка и две равные гипотенузы, которые помогают доказательству.
3. Серединный перпендикуляр к хорде CD пересекает окружность в P и Q. Обязан ли центр O лежать на прямой PQ?
4. Радиус окружности 11 см, хорда EF = 14 см. Точка N — середина хорды. Найдите EN и поясните, почему ON перпендикулярен EF.
5. Хорда KL имеет длину 18 мм, её середина T. Какова длина KT и TL?
6. Прямая через центр O перпендикулярна хорде RS в точке H. Известно RH = 7 см. Найдите длину всей хорды.

Разобрать ловушки (7–12)

7. Отрезок AB — диаметр окружности. Где находится середина AB? Обязательно ли любой проходящий через O перпендикуляр к AB делит AB пополам?
8. Ученик утверждает: «Если OM перпендикулярен хорде AB, то M — середина AB, но только когда OM не пересекает окружность». Найдите ошибку.
9. Пусть радиус 39 см, AM = MB = 36 см, а OM перпендикулярен AB. Чему равно OM? Какое общее свойство использовано?
10. Две различные хорды PQ и RS имеют общую середину M, отличную от O. Могут ли обе лежать на разных прямых?
11. Две непараллельные хорды AB и CD имеют серединные перпендикуляры, пересекающиеся в X. Что представляет собой X?
12. Хорда AB = 14 см, её серединный перпендикуляр пересекает её в M. Зачем в условии нужно слово «серединный», если уже известно, что прямая перпендикулярна AB?

Проверить свойства и ограничения (13–16)

13. Точка X равноудалена от концов хорды KL: XK = XL. Следует ли, что X лежит на серединном перпендикуляре к KL?
14. Радиус 37 см, половина хорды = 35 см. Вычислите расстояние от центра до её середины.
15. Если хорду сдвигать параллельно самой себе ближе к центру одной окружности, как меняется её длина? Объясните без конкретных чисел.
16. Можно ли сделать вывод, что любая прямая через центр O перпендикулярна любой хорде? Объясните.

Ответы и пошаговая проверка

1. Да. OA=OB — радиусы, AM=MB — по условию, OM — общая сторона. Треугольники OAM и OBM равны по трём сторонам; смежные углы OMA и OMB равны и вместе 180°, значит каждый 90°.
2. AM=MB, OA=OB. В равных треугольниках OAM и OBM общая сторона OM; OA, OB — гипотенузы после установления прямого угла.
3. Да. Центр окружности равноудалён от C и D, поэтому расположен на серединном перпендикуляре к CD. Точки P,Q лежат на этой прямой.
4. EN = 7 см. Середина делит хорду пополам. Треугольники OEN и OFN равны; отсюда ON ⟂ EF, если хорда не является диаметром.
5. 9 мм и 9 мм. Середина делит 18 мм на две равные части.
6. RS = 14 см. Перпендикуляр из центра делит хорду пополам: SH=RH=7 см.
7. Середина — O. Любой перпендикуляр через O пересекает диаметр в O; значит его половины равны радиусу.
8. Ошибка в лишнем ограничении. Проходящий через центр перпендикуляр к хорде делит её пополам независимо от того, где прямая пересекает окружность.
9. 15 см. По прямоугольному треугольнику OMA: OM²=OA²−AM²=1521−1296=225. Центр лежит на серединном перпендикуляре к хорде.
10. Нет, если M ≠ O. Центр O должен лежать на серединном перпендикуляре каждой хорды. Единственная прямая через O и M перпендикулярна обеим хордам; значит они лежат на одной прямой, а единственная хорда этой прямой совпадает.
11. X=O. Центр равноудалён от концов каждой хорды и лежит на обоих серединных перпендикулярах. Так как прямые непараллельны, точка их пересечения единственна.
12. Серединный означает, что прямая проходит через середину M. Обычный перпендикуляр мог быть построен через произвольную точку хорды.
13. Да. По определению геометрического места точек, равноудалённых от концов отрезка KL, X лежит на его серединном перпендикуляре.
14. 12 см. 37² − 35² = 144, расстояние √144 = 12 см. Единицы — сантиметры.
15. Увеличивается. При фиксированном радиусе R половина хорды равна √(R²−d²), где d — расстояние до центра; меньшему d соответствует большая половина хорды.
16. Нет. Через центр проходит много прямых, а к данной хорде перпендикулярна только одна из них (через её середину).

Сравнение подходов и три ловушки

Граничный случай: если хорда — диаметр, её середина совпадает с O; тогда «отрезок OM» имеет нулевую длину и не задаёт направление. Говорят о прямой через O, перпендикулярной диаметру. Не переносите доказательство с ненулевым OM буквально на этот случай.

Самопроверка: в задачах на длины обязательно обозначайте см и мм, а при вычислении через корень поясняйте, почему выбираете неотрицательную длину. Ответ, противоречащий радиусу, нужно перепроверить.