Текстовые задачи на несколько изменений остатка через уравнение для 6 класса — упражнения с разбором

Мини-тест «Что осталось после нескольких действий». Во всех задачах через x обозначьте первоначальное количество, а не последнее. Сначала составьте одно уравнение для остатка; затем решите его и проверьте каждое действие по порядку. Денежные суммы, метры и штуки не смешивайте.

Запись x − 18 − 27 = 35 означает, что из начального запаса дважды забрали предметы и осталось 35. После решения нужно не просто назвать x, но и убедиться, что промежуточный остаток не отрицателен. Когда добавляют новые предметы, у слагаемого знак «+»; когда забирают — «−». Если меняют долю именно оставшегося, сначала ставьте скобки.

Часть А. Выберите верную модель (1–4)

1. В ящике было неизвестное число карандашей. Взяли 18, потом ещё 27; осталось 35. Какая модель верна: А) x + 18 + 27 = 35; Б) x − 18 − 27 = 35; В) 18 + 27 − x = 35? Найдите x.
2. К запасу бумаги добавили 12 пачек, затем израсходовали 25; стало 41. Запишите уравнение и найдите первоначальный запас.
3. Из первоначального числа билетов сначала выдали треть, затем ещё 10 билетов; осталось 30. Выберите модель: А) x − x/3 − 10 = 30; Б) x − 1/3 − 10 = 30; В) x/3 − 10 = 30. Решите.
4. В мастерской от рулона неизвестной длины отрезали 24 м, затем использовали половину оставшегося. После этого осталось 18 м. Запишите уравнение со скобками и определите исходную длину.

Часть Б. Вычислите и объясните ход решения (5–10)

5. Было x деталей. Убрали 20, вернули 8 и использовали ещё 11. Осталось 32. Сколько было?
6. На складе было x кг крупы. Отгрузили 14 кг, потом 9 кг, доставили 25 кг; стало 62 кг. Найдите x.
7. От x литров воды сначала израсходовали 2/5 начального объёма, после этого ещё 9 л. Осталось 27 л. Сколько было первоначально?
8. Половину первоначального запаса фишек раздали, потом ещё 7 фишек. Осталась 21 фишка. Найдите первоначальное количество.
9. Из бака с x литрами сначала слили 30 л; затем оставшийся объём увеличился на 20% после долива. В конце стало 48 л. Какой была начальная величина? Считать, что бак вместил всю жидкость.
10. К x метрам ленты докупили ещё четверть первоначальной длины, затем отрезали 15 м. Осталось 45 м. Найдите x.

Часть В. Проверьте спорное решение (11–16)

11. Ученик записал: «Сначала использовали 10 ручек, затем ещё 5, осталось 42; x − (10 + 5) = 42; x = 42 − 15 = 27». Верна ли модель? В каком действии ошибка? Найдите x.
12. К x открыткам добавили 20, потом раздали треть уже нового количества. Осталось 40 открыток. В ответе отдельно укажите, сколько раздали.
13. От первоначального числа саженцев забрали четверть, затем ещё 12; осталось 33. Найдите исходное число и первый остаток.
14. Было x тетрадей. Унесли 18, привезли 6, использовали 15; осталось 27. Определите x.
15. Участник собрал x жетонов. Он потратил 15, затем половину оставшихся отдал другу, после чего получил ещё 9. Стало 33 жетона. Каково x?
16. Проверьте вычисление, не решая уравнение: было 72 л, израсходовали четверть первоначального объёма, затем 12 л, потом добавили 5 л. Осталось ли 47 л? Запишите полную цепочку.

Лист ответов и разбор

1. Б. x − 18 − 27 = 35, значит x = 80 карандашей. Проверка: 80 → 62 → 35.
2. x + 12 − 25 = 41, x = 54 пачки. Проверка: 54 + 12 = 66; 66 − 25 = 41.
3. А. x − x/3 − 10 = 30, поэтому 2x/3 = 40 и x = 60 билетов. После выдачи трети осталось 40, затем 30.
4. (x − 24)/2 = 18, x = 60 м. После первого отреза 36 м, половину использовали, 18 м сохранилось.
5. x − 20 + 8 − 11 = 32, x = 55 деталей; промежуточные остатки 35, 43, 32.
6. x − 14 − 9 + 25 = 62, x = 60 кг; 60 → 46 → 37 → 62 кг.
7. x − 2x/5 − 9 = 27, 3x/5 = 36, x = 60 л; первая трата 24 л, затем 9 л.
8. x/2 − 7 = 21, x = 56 фишек; осталось сначала 28, потом 21.
9. 1,2(x − 30) = 48, x − 30 = 40, x = 70 л. Долив равен 8 л (20% от 40 л). Нельзя взять 20% от x.
10. 5x/4 − 15 = 45, x = 48 м; докупили 12 м, стало 60 м, осталось 45 м.
11. Модель правильная, но переход x = 42 − 15 ошибочен: x = 42 + 15 = 57 ручек. Проверка 57 − 10 − 5 = 42.
12. (x + 20) − (x + 20)/3 = 40, значит 2(x + 20)/3 = 40; x = 40 открыток. После пополнения 60, раздали 20.
13. x − x/4 − 12 = 33; x = 60 саженцев. После первого расхода осталось 45, затем 33.
14. x − 18 + 6 − 15 = 27, x = 54 тетради; 54 → 36 → 42 → 27.
15. (x − 15)/2 + 9 = 33, x = 63 жетона. После траты 48, друг получил 24, затем осталось 24 + 9 = 33.
16. Да: 72 − 72/4 − 12 + 5 = 72 − 18 − 12 + 5 = 47 л. Никакого неизвестного здесь нет.

Как оценить работу: за пункты 1–16 по одному баллу за корректную модель или расчёт и ещё одному за проверку результата; максимум 32. В заданиях 3, 4, 7, 9, 10, 12 и 15 наличие скобок или указание, от какого остатка берётся доля, обязательно. Ошибка единиц измерения делает численный ответ неполным.

В задачах о количестве предметов решения должны быть целыми и неотрицательными; для длины и объёма допускаются дробные значения, если они согласованы с условием. При получении отрицательного запаса проверьте уравнение и смысл задачи. Этот тест учит одной операции: восстановить исходное значение по нескольким последовательным изменениям остатка.