Теорема о квадрате касательной и секущей — задания на закрепление, 9 класс

Прикладная ситуация: измерительная разметка у круглой площадки

На схеме круглая клумба обозначена окружностью. От внешней точки P проложены прямая дорожка, касающаяся окружности в точке T, и прямая через P, которая пересекает окружность сначала в точке A, затем в точке B. В этой учебной модели известны расстояния вдоль прямых: PT — касательная, PA — внешняя часть секущей, PB — вся секущая от P до дальнего пересечения. Размеры заданы в метрах; это геометрическая модель, а не данные реального строительного объекта.

Теорема: PT² = PA · PB. Если внутренняя часть AB = c, то PB = PA + c, поэтому PT² = PA(PA + c). Проверяйте: PB ≥ PA > 0, PT > 0. Нельзя подставлять в формулу только внутреннюю часть AB вместо полного PB.

Исходная таблица модели

Модель и два связанных расчёта

Пусть в первом плане a = 4 м, b = 9 м. Тогда t² = 4·9 = 36 м², значит t = 6 м (отрицательное значение −6 отбрасывается, поскольку расстояние неотрицательно). Длина внутри круга c = 9 − 4 = 5 м. Для второго плана известно t = 15 м и a = 9 м. Тогда b = 15²/9 = 25 м, а c = 25 − 9 = 16 м. Проверка обеих схем — равенство t² и a·b в м².

Как выбрать неизвестное и избежать неверных измерений

Если известны внешняя часть и полная длина секущей, достаточно одного умножения и положительного квадратного корня. Если известны касательная и внешняя часть, сначала вычисляют полную секущую: b = t²/a. Если известны касательная и полная секущая, получают a = t²/b. Для любой схемы при этом должно сохраняться условие a ≤ b, потому что ближнее пересечение нельзя поставить дальше дальнего.

На практике часто известна не вся секущая PB, а только её часть внутри окружности AB. Тогда b = a + c, и уравнение становится квадратным: a² + ca − t² = 0. У такого уравнения возможны два действительных корня противоположных знаков; физический смысл оставляет один положительный. Нельзя «сокращать» a² + ca до a + c: слагаемые имеют размерность квадратных метров.

Связанные задачи по измерениям (1–14)

1. PA = 4 м, PB = 9 м. Найдите PT и длину AB.
2. PA = 5 м, PB = 20 м. Найдите PT.
3. PA = 9 м, PB = 16 м. Найдите касательную и длину внутреннего участка.
4. PT = 15 м, PA = 9 м. Найдите PB и AB.
5. PT = 12 м, PB = 18 м. Найдите PA и AB.
6. PA = 3 м, AB = 9 м. Найдите PB и PT.
7. PA = 8 м, AB = 10 м. Найдите PB и PT.
8. PA = 2 м, PB = 50 м. Найдите PT и убедитесь, что данные допустимы.
9. PT = 14 м, PA = 7 м. Найдите PB и AB.
10. PT = 20 м, PB = 25 м. Найдите PA и AB.
11. PT = 10 м, AB = 15 м. Найдите PA, решив квадратное уравнение.
12. PT = 12 м, AB = 7 м. Найдите PA и PB.
13. PA = 4 м, PB = 25 м. Найдите PT и AB.
14. PT = 18 м, PA = 12 м. Найдите PB и AB.

Ответы, пригодные для проверки плана

Откуда берётся теорема

Соединим T с A и B. Треугольники PTA и PBT подобны: у них общий угол при P между касательной и секущей, а другой парой равных углов служат угол между касательной и хордой и вписанный угол, опирающиеся на одну дугу. Из подобия получается отношение PT/PA = PB/PT, а значит PT² = PA·PB. Это обоснование позволяет не воспринимать формулу как случайное совпадение чисел.

В школьной модели точка P расположена вне окружности и секущая проходит через две различные точки A и B. Если прямая лишь касается окружности, два пересечения сливаются, и речь идёт о предельном случае, требующем отдельного пояснения. Для данных 14 упражнений это не требуется: во всех случаях AB строго положительно.

Три проверки корректности геометрической модели

1. Границы: внешняя часть PA не должна превосходить всю секущую PB, иначе перепутаны точки A и B.
2. Единицы: PT² и PA·PB имеют размерность м². После извлечения корня PT измеряется уже в метрах, а не в м².
3. Допустимые корни: при нахождении PA из a(a + c) = t² отрицательное решение нужно отбросить. Например, в задании 11 корень −20 не обозначает допустимую длину; остаётся 5 м.

Итоговое решение для обсуждения

Сравните задания 1 и 13: внешняя часть у них одинаковая (4 м), но дальнее пересечение расположено на разном расстоянии (9 и 25 м). Поэтому длина касательной растёт с 6 до 10 м. Это демонстрирует, что теорема связывает полную длину секущей с касательной, а не только расстояние внутри окружности.