Теорема Виета для приведённого квадратного уравнения для 8 класса — упражнения с решениями

Контрольная с решениями, 8 класс. Теорема Виета позволяет работать с корнями приведённого квадратного уравнения без длинных вычислений. Материал включает 25 пронумерованных пунктов: быстрый опрос, блок самостоятельного решения и коррекцию по типу ошибки. Можно выдать группе только первую часть, а ключ оставить учителю.

Часть А. Мини-проверочная: прочитайте коэффициенты

В пунктах 1–7 определите сумму и произведение корней. Затем, если возможно, назовите пару целых корней. Не тратьте время на формулу дискриминанта там, где легко заметить пару чисел.

Часть Б. Проверьте обратным действием

В заданиях 8–13 найдите корни подбором. Рядом обязательно выпишите равенства для суммы и произведения: так становится видно, почему ответ верен.

8. x² − 9x + 20 = 0 Укажите два корня и проверьте обе формулы.
9. x² − x − 20 = 0 Укажите два корня и проверьте обе формулы.
10. x² + 9x + 20 = 0 Укажите два корня и проверьте обе формулы.
11. x² − 6x + 8 = 0 Укажите два корня и проверьте обе формулы.
12. x² + 3x − 10 = 0 Укажите два корня и проверьте обе формулы.
13. x² − 12x + 36 = 0 Укажите два корня и проверьте обе формулы.

Часть В. Задания с изменением условия

14. Сумма корней −8, произведение 15. Запишите приведённое уравнение и назовите корни.
15. Сумма корней 11, произведение 30. Запишите уравнение и корни.
16. Может ли x² + 4x + 13 = 0 иметь действительные корни? Проверьте перед применением теоремы.
17. Назовите корни x² + 8x + 16 = 0 и объясните повторение числа.
18. Один корень равен −2, сумма корней 3. Найдите второй корень, произведение и уравнение.
19. Один корень 1/2, другой 2. Составьте приведённое уравнение.
20. Даны корни 3 и −4. Запишите сумму, произведение и приведённое уравнение.
21. Даны одинаковые корни 3 и 3. Составьте приведённое уравнение.

Часть Г. Контроль переноса: нужно ли решать?

22. Проверьте подбором корни x² − 7x + 10 = 0.
23. Проверьте подбором корни x² + 4x − 12 = 0.
24. Почему нельзя назвать два действительных корня уравнения x² − 2x + 2 = 0?
25. Составьте уравнение по данным S = 1/2 и P = −3/2; найдите корни.

Оценивание мини-проверочной

Всего 50 баллов. Для краткой самостоятельной можно взять задания 1–13 (26 баллов), а для дифференцированной работы — весь лист. Оценка по усмотрению учителя: 45–50 — уверенное владение, 35–44 — небольшие недочёты, 25–34 — нужно исправить ошибки, ниже 25 — повторить правило и работу со знаками.

Разбор стратегии: как находить пару, а не угадывать

Начинайте с произведения q. Если оно положительно, оба действительных корня при целочисленном подборе имеют одинаковые знаки; знак суммы подскажет, какие именно. Если произведение отрицательное, корни разных знаков. Для x² − 2x − 15 = 0 произведение равно −15, а сумма 2. Подходят 5 и −3: их произведение −15, сумма 2. Подстановка даёт 25 − 10 − 15 = 0 и 9 + 6 − 15 = 0.

Если оба корня отрицательные, сумма будет отрицательной, хотя произведение положительное. Например, x² + 5x + 6 = 0: числа −2 и −3 дают сумму −5 и произведение 6. Запись только «2 и 3» кажется близкой, потому что произведение верно, но сумма имеет противоположный знак. Требование проверять сразу два равенства защищает от этого типичного ответа.

Почему у приведённого уравнения особое правило

Для ax² + bx + c = 0 при a ≠ 0 сначала получается x² + (b/a)x + c/a = 0. Именно поэтому сумма корней равна −b/a, а произведение равно c/a. В приведённом уравнении a = 1 и дроби исчезают из формулы. Чтобы не спутать этот случай с неприведённым, предложите ученику в черновике обвести число перед x²: если там не 1, преждевременно применять короткую запись S = −b нельзя.

О повторяющемся корне

Для x² + 6x + 9 = 0 единственное различное значение корня равно −3, однако при записи теоремы Виета учитывают два корня с кратностью: −3 и −3. Поэтому сумма равна −6, произведение 9. Так же ведёт себя уравнение x² − 12x + 36 = 0: пара 6 и 6 считается допустимой, хотя обе записи одного числа совпадают. Это не ошибка и не повод искать другое число.

Где теорема Виета не заменяет решение

Полезно на доске сравнить x² + 8x + 16 = 0 и x² + 4x + 13 = 0. В первом выражение равно (x + 4)², и реальный корень есть. Во втором D = 4² − 4·1·13 = −36: реальных корней нет. Формула для коэффициентов всё ещё даёт числа −4 и 13, но нельзя объявить их суммой и произведением действительных корней. Два учащихся могут механически написать пару «корней», не проверив существование: это содержательная ошибка, а не арифметический недочёт.

В старших классах рассматривают комплексные корни; данный лист ограничен действительными числами, как это обычно принято в базовой теме восьмого класса. Если программа уже вводила комплексные числа, учитель может отдельно обсудить, почему соотношения коэффициентов остаются полезными. Для этой работы такое расширение не требуется.

Как использовать лист на двух уровнях

Для базовой группы достаточно заданий 1–13: они выявляют ошибки в знаках и в подборе целых чисел. Продвинутой группе дайте задания 14–25, где требуется строить уравнение, восстанавливать недостающий корень, иметь дело с дробью и замечать отсутствие действительных корней. Не меняйте последовательность в ключе: учителю удобнее сопоставлять ответ с исходным номером.

При взаимопроверке договоритесь, что объяснение — это две короткие строки S = x₁ + x₂ и P = x₁x₂ с конкретными числами, а не фраза «подходит по Виету». Установите различие между вычислением S и P из коэффициентов и обратным подбором пары. Первое действие всегда возможно формально при a ≠ 0; второе в действительных числах требует существования корней, и для некоторых уравнений подбор целых чисел вообще не сработает.

Если ребёнок долго перебирает числа, предложите записать пары делителей модуля q в отдельном столбце, затем выбрать знаки. Для числа 20 возможны пары 1 и 20, 2 и 10, 4 и 5. В задаче x² − 9x + 20 = 0 нужна сумма 9; подходит 4 и 5. Такой перебор небольшой и учит осмысленно искать числа, а не рассчитывать на случайную догадку.

Для итоговой проверочной полезно предложить сначала указать знаки будущих корней по S и P, а затем назвать точную пару. Так видно, понимает ли ученик смысл правила до арифметического перебора. Если в последнем шаге появляется дробь, можно оставить её в точном виде; округление усложняет проверку двух равенств и не является целью упражнения.

Ответы и диагностические комментарии

Ученику: сначала выполните задания; ответы ниже предназначены для сверки после работы. При печати можно выбрать только страницы с заданиями.

1–7. Коэффициенты и суммы

1. S = 7, P = 12; корни 3 и 4. Проверка: 3 + (4) = 7, 3 · (4) = 12.
2. S = -5, P = 6; корни -2 и -3. Проверка: -2 + (-3) = -5, -2 · (-3) = 6.
3. S = 2, P = -15; корни 5 и -3. Проверка: 5 + (-3) = 2, 5 · (-3) = -15.
4. S = -1, P = -12; корни 3 и -4. Проверка: 3 + (-4) = -1, 3 · (-4) = -12.
5. S = 0, P = -9; корни 3 и -3. Проверка: 3 + (-3) = 0, 3 · (-3) = -9.
6. S = -6, P = 9; корни -3 и -3. Проверка: -3 + (-3) = -6, -3 · (-3) = 9.
7. S = -2, P = -3; корни 1 и -3. Проверка: 1 + (-3) = -2, 1 · (-3) = -3.

8–13. Подбор пар

8. Корни 4 и 5; сумма 9, произведение 20.
9. Корни 5 и -4; сумма 1, произведение -20.
10. Корни -4 и -5; сумма -9, произведение 20.
11. Корни 2 и 4; сумма 6, произведение 8.
12. Корни 2 и -5; сумма -3, произведение -10.
13. Корни 6 и 6; сумма 12, произведение 36.

14–21. Изменённые условия

14. x² + 8x + 15 = 0; корни −3 и −5.
15. x² − 11x + 30 = 0; корни 5 и 6.
16. Нет: D = 16 − 52 = −36. Формальные величины −4 и 13 не являются суммой и произведением действительных корней.
17. Один действительный корень −4 (двукратный); сумма с учётом кратности −8, произведение 16.
18. Второй корень 5, произведение −10; x² − 3x − 10 = 0.
19. Сумма 5/2, произведение 1; x² − (5/2)x + 1 = 0.
20. Сумма −1, произведение −12; x² + x − 12 = 0.
21. Сумма 6, произведение 9; x² − 6x + 9 = 0.

22–25. Перенос способа

22. Корни 2 и 5: 2 + 5 = 7; 2 · 5 = 10.
23. Корни 2 и −6: сумма −4, произведение −12.
24. D = 4 − 8 = −4; действительных корней нет.
25. x² − (1/2)x − 3/2 = 0; корни 3/2 и −1.

Коррекция типичных пробелов

• Перепутан знак суммы: запишите −p под коэффициентом при x, а q — под свободным членом; повторите пункты 1, 3 и 6.
• Угадана пара без доказательства: подставьте в две проверки сумму и произведение; особенно полезны пункты 9–11.
• Не учтён случай D < 0: разберите пункты 16 и 24: в них действительных корней нет.
• Путаются прямая и обратная задачи: в пунктах 14, 15, 17 и 21 сначала выпишите S и P, потом сформируйте x² − Sx + P = 0.

Теорема Виета проверяет найденные корни, но не заменяет проверку существования действительных корней. Если подбор не удаётся, используйте дискриминант. Если ученик ошибся только в одном номере, полезнее разобрать причину именно этой ошибки, чем переписывать весь лист.