Точка пересечения прямой и окружности по координатам: примеры и объяснения для 9 класса

Пошаговый разбор с проверкой всех корней. На координатной плоскости задана окружность с центром (a; b) и радиусом R: (x − a)² + (y − b)² = R². Общая точка должна удовлетворять этому равенству и уравнению прямой одновременно.

Вступительная задача: почему бывает 0, 1 или 2 точки

Окружность x² + y² = 25 и прямая y = 3. Подстановка даёт x² + 9 = 25, x² = 16, x = ±4. Точки (−4; 3) и (4; 3). Если вместо y = 3 дана прямая y = 5, получится одна точка (0; 5) — касание. Если y = 6, действительных решений нет.

Метод A — подстановка координаты

1. Из уравнения прямой выразите y через x или x через y. Для вертикальной прямой x = k уже известно значение x.
2. Подставьте в уравнение окружности. Получится квадратное уравнение с одной переменной.
3. Найдите только действительные корни, восстановите вторую координату.
4. Для каждой пары выполните проверку в обоих исходных уравнениях. Не теряйте корни со знаком минус.

Разобранный пример: x² + y² = 25, y = x + 1. Получается x² + (x + 1)² = 25, или 2x² + 2x − 24 = 0. Делим на 2: x² + x − 12 = 0. Отсюда x = 3 или x = −4; y = 4 или y = −3. Ответ: (3; 4), (−4; −3). Проверки: 9 + 16 = 25 и 16 + 9 = 25.

Метод B — расстояние от центра до прямой

Для прямой Ax + By + C = 0 расстояние до центра O(a; b) равно |Aa + Bb + C|/√(A² + B²), если A и B не оба нули. Сравните это расстояние с радиусом R: меньше R — две точки; равно R — касание; больше R — общих точек нет. Этот метод быстро определяет число точек, но сам по себе не заменяет вычисления их координат.

Например, для окружности (x − 1)² + (y − 2)² = 9 и прямой x = 5 расстояние от центра равно 4, а радиус 3: точек нет. Такое геометрическое заключение проверяет правильность алгебраического ответа.

Практика — 18 систем координат

В каждом пункте сначала определите число общих точек, затем координаты, если они есть. Если ответа нет, укажите причину. В некоторых задачах радиус равен √2 или √8; это допустимо, поскольку в уравнении записан квадрат радиуса.

1. Найдите все общие точки окружности (x − (0))² + (y − (0))² = 25 и прямой y − 3 = 0. Укажите их количество и координаты. __________
2. Найдите все общие точки окружности (x − (0))² + (y − (0))² = 16 и прямой x − 4 = 0. Укажите их количество и координаты. __________
3. Найдите все общие точки окружности (x − (0))² + (y − (0))² = 9 и прямой y − 4 = 0. Укажите их количество и координаты. __________
4. Найдите все общие точки окружности (x − (2))² + (y − (-1))² = 25 и прямой y + 1 = 0. Укажите их количество и координаты. __________
5. Найдите все общие точки окружности (x − (3))² + (y − (2))² = 25 и прямой x = 0. Укажите их количество и координаты. __________
6. Найдите все общие точки окружности (x − (1))² + (y − (-2))² = 9 и прямой y − 1 = 0. Укажите их количество и координаты. __________
7. Найдите все общие точки окружности (x − (0))² + (y − (0))² = 25 и прямой -x + y − 1 = 0. Укажите их количество и координаты. __________
8. Найдите все общие точки окружности (x − (2))² + (y − (-1))² = 25 и прямой -x + y + 3 = 0. Укажите их количество и координаты. __________
9. Найдите все общие точки окружности (x − (1))² + (y − (1))² = 4 и прямой x − 5 = 0. Укажите их количество и координаты. __________
10. Найдите все общие точки окружности (x − (2))² + (y − (0))² = 25 и прямой y − 4 = 0. Укажите их количество и координаты. __________
11. Найдите все общие точки окружности (x − (-2))² + (y − (3))² = 25 и прямой x + 5 = 0. Укажите их количество и координаты. __________
12. Найдите все общие точки окружности (x − (0))² + (y − (0))² = 2 и прямой x + y − 2 = 0. Укажите их количество и координаты. __________
13. Найдите все общие точки окружности (x − (0))² + (y − (0))² = 25 и прямой x + y − 1 = 0. Укажите их количество и координаты. __________
14. Найдите все общие точки окружности (x − (1))² + (y − (2))² = 8 и прямой -x + y − 1 = 0. Укажите их количество и координаты. __________
15. Найдите все общие точки окружности (x − (0))² + (y − (0))² = 13 и прямой x − 2 = 0. Укажите их количество и координаты. __________
16. Найдите все общие точки окружности (x − (2))² + (y − (3))² = 16 и прямой y − 7 = 0. Укажите их количество и координаты. __________
17. Найдите все общие точки окружности (x − (1))² + (y − (-1))² = 10 и прямой y = 0. Укажите их количество и координаты. __________
18. Найдите все общие точки окружности (x − (0))² + (y − (0))² = 1 и прямой x + y − 3 = 0. Укажите их количество и координаты. __________

Ответы: координаты и число пересечений

1. Две общие точки: (-4; 3); (4; 3). Проверка: каждая записанная пара удовлетворяет обоим исходным уравнениям. Проверка числа точек: 25·(1) − (-3)² = 16; это секущая. Каждая найденная пара даёт 25 в уравнении окружности и 0 в уравнении прямой.
2. Одна точка (касание): (4; 0). Проверка: каждая записанная пара удовлетворяет обоим исходным уравнениям. Проверка числа точек: 16·(1) − (-4)² = 0; это касание. Каждая найденная пара даёт 16 в уравнении окружности и 0 в уравнении прямой.
3. общих действительных точек нет. После подстановки уравнение на прямой не имеет действительных корней; окружность и прямая не пересекаются. Проверка числа точек: 9·(1) − (-4)² = -7 < 0, прямая лежит вне окружности.
4. Две общие точки: (-3; -1); (7; -1). Проверка: каждая записанная пара удовлетворяет обоим исходным уравнениям. Проверка числа точек: 25·(1) − (0)² = 25; это секущая. Каждая найденная пара даёт 25 в уравнении окружности и 0 в уравнении прямой.
5. Две общие точки: (0; -2); (0; 6). Проверка: каждая записанная пара удовлетворяет обоим исходным уравнениям. Проверка числа точек: 25·(1) − (3)² = 16; это секущая. Каждая найденная пара даёт 25 в уравнении окружности и 0 в уравнении прямой.
6. Одна точка (касание): (1; 1). Проверка: каждая записанная пара удовлетворяет обоим исходным уравнениям. Проверка числа точек: 9·(1) − (-3)² = 0; это касание. Каждая найденная пара даёт 9 в уравнении окружности и 0 в уравнении прямой.
7. Две общие точки: (-4; -3); (3; 4). Проверка: каждая записанная пара удовлетворяет обоим исходным уравнениям. Проверка числа точек: 25·(2) − (-1)² = 49; это секущая. Каждая найденная пара даёт 25 в уравнении окружности и 0 в уравнении прямой.
8. Две общие точки: (2 — 5·√2/2; -5·√2/2 — 1); (2 + 5·√2/2; -1 + 5·√2/2). Проверка: каждая записанная пара удовлетворяет обоим исходным уравнениям. Проверка числа точек: 25·(2) − (0)² = 50; это секущая. Каждая найденная пара даёт 25 в уравнении окружности и 0 в уравнении прямой.
9. общих действительных точек нет. После подстановки уравнение на прямой не имеет действительных корней; окружность и прямая не пересекаются. Проверка числа точек: 4·(1) − (-4)² = -12 < 0, прямая лежит вне окружности.
10. Две общие точки: (-1; 4); (5; 4). Проверка: каждая записанная пара удовлетворяет обоим исходным уравнениям. Проверка числа точек: 25·(1) − (-4)² = 9; это секущая. Каждая найденная пара даёт 25 в уравнении окружности и 0 в уравнении прямой.
11. Две общие точки: (-5; -1); (-5; 7). Проверка: каждая записанная пара удовлетворяет обоим исходным уравнениям. Проверка числа точек: 25·(1) − (3)² = 16; это секущая. Каждая найденная пара даёт 25 в уравнении окружности и 0 в уравнении прямой.
12. Одна точка (касание): (1; 1). Проверка: каждая записанная пара удовлетворяет обоим исходным уравнениям. Проверка числа точек: 2·(2) − (-2)² = 0; это касание. Каждая найденная пара даёт 2 в уравнении окружности и 0 в уравнении прямой.
13. Две общие точки: (-3; 4); (4; -3). Проверка: каждая записанная пара удовлетворяет обоим исходным уравнениям. Проверка числа точек: 25·(2) − (-1)² = 49; это секущая. Каждая найденная пара даёт 25 в уравнении окружности и 0 в уравнении прямой.
14. Две общие точки: (-1; 0); (3; 4). Проверка: каждая записанная пара удовлетворяет обоим исходным уравнениям. Проверка числа точек: 8·(2) − (0)² = 16; это секущая. Каждая найденная пара даёт 8 в уравнении окружности и 0 в уравнении прямой.
15. Две общие точки: (2; -3); (2; 3). Проверка: каждая записанная пара удовлетворяет обоим исходным уравнениям. Проверка числа точек: 13·(1) − (-2)² = 9; это секущая. Каждая найденная пара даёт 13 в уравнении окружности и 0 в уравнении прямой.
16. Одна точка (касание): (2; 7). Проверка: каждая записанная пара удовлетворяет обоим исходным уравнениям. Проверка числа точек: 16·(1) − (-4)² = 0; это касание. Каждая найденная пара даёт 16 в уравнении окружности и 0 в уравнении прямой.
17. Две общие точки: (-2; 0); (4; 0). Проверка: каждая записанная пара удовлетворяет обоим исходным уравнениям. Проверка числа точек: 10·(1) − (-1)² = 9; это секущая. Каждая найденная пара даёт 10 в уравнении окружности и 0 в уравнении прямой.
18. общих действительных точек нет. После подстановки уравнение на прямой не имеет действительных корней; окружность и прямая не пересекаются. Проверка числа точек: 1·(2) − (-3)² = -7 < 0, прямая лежит вне окружности.

Ловушки, которые важно исправить

Ловушка 1. Из x² = 9 получают только x = 3. Теряется вторая общая точка. Запись x = ±3 обязательна, если оба решения удовлетворяют прямой.

Ловушка 2. Забывают, что R² — квадрат радиуса: в окружности x² + y² = 25 радиус равен 5, а не 25.

Ловушка 3. Определяют одну «точку пересечения» только по касанию рисунка. Число общих точек должно подтверждаться системой; если квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, точек две.

Ловушка 4. При проверке подставляют ответ только в уравнение окружности. Это недостаточно: на окружности бесконечно много точек. Для подтверждения решения нужны оба равенства.

Вопрос повышенной сложности: почему у прямой и окружности не может быть трёх различных общих точек? После подстановки линейной зависимости получается уравнение степени не выше второй. Третьего действительного корня у такого уравнения нет.