Тренажёр для 8 класса — нахождение целых решений системы неравенств

Для ответа этой карточки недостаточно нарисовать пересечение промежутков: нужно выписать только целые числа, которые подходят обоим неравенствам. Целыми являются …, −2, −1, 0, 1, 2, …; число 0 тоже целое. Каждое упражнение имеет ограниченный с двух сторон промежуток, а значит, ответ можно перечислить полностью.

Разобранная ловушка: границу не включили

Рассмотрим систему x > −2 и x ≤ 3. Частая ошибка — ответ «−2, −1, 0, 1, 2, 3». Число −2 не удовлетворяет строгому знаку x > −2. Верно: −1, 0, 1, 2, 3. При x < 3 число 3 тоже пришлось бы убрать. Проверяйте оба края отдельно — они дают большинство ошибок.

Полезный маршрут: сначала получите интервал, затем найдите первое и последнее допустимые целые, потом выпишите все целые между ними без пропусков. Если между двумя открытыми границами нет целого, запишите «целых решений нет», даже когда сам вещественный промежуток не пуст.

Исправь ловушку — карточка А

В первых семи системах ученик указывает пересечение, перечисляет все целые и подчёркивает числа у границ, которые пришлось исключить. Особенно внимательно отнеситесь к № 7: промежуток может содержать ровно одну точку.

1. { x > -3; x ≤ 2 }. Все целые x = __________________; количество = ____.
2. { x ≥ -2; x < 4 }. Все целые x = __________________; количество = ____.
3. { 2x > 1; x ≤ 5 }. Все целые x = __________________; количество = ____.
4. { x + 2 ≥ 0; 2x < 7 }. Все целые x = __________________; количество = ____.
5. { −x ≤ 2; x < 2 }. Все целые x = __________________; количество = ____.
6. { 3x > -6; x ≤ 1 }. Все целые x = __________________; количество = ____.
7. { x ≥ -1; x ≤ -1 }. Все целые x = __________________; количество = ____.

Чистовая карточка Б

В следующих семи системах не пользуйтесь подсказками. Записывайте только целочисленный ответ и его количество, но вычисления для получения границ проведите в черновике. Если ответ пуст, обязательно поясните, почему между границами не осталось целого числа.

8. { x > 2; x < 3 }. Целые решения: __________________; всего ____.
9. { 2x + 1 ≥ 8; −x ≥ -8 }. Целые решения: __________________; всего ____.
10. { -2x + 1 < 5; x ≤ 3 }. Целые решения: __________________; всего ____.
11. { 3x − 1 > 4; 2x + 1 ≤ 13 }. Целые решения: __________________; всего ____.
12. { x ≥ -5; 2x < -1 }. Целые решения: __________________; всего ____.
13. { -3x ≥ -9; x > 0 }. Целые решения: __________________; всего ____.
14. { 2x + 3 > -4; x ≤ 0 }. Целые решения: __________________; всего ____.

Отдельный разбор двух пограничных случаев

Если 2 < x < 3, действительных решений бесконечно много: например, 2,5 подходит. Но ни одно целое число не лежит строго между 2 и 3. Следовательно, целых решений нет. Это принципиально отличается от пустой системы, в которой не существует вообще никаких действительных решений. Ученик должен различать два утверждения и не подменять одно другим.

Другой случай: 2x + 1 ≥ 8 и −x ≥ −8. Первая граница — x ≥ 3,5, вторая — x ≤ 8. Общий промежуток [3,5; 8] содержит целые 4, 5, 6, 7, 8 — ровно пять чисел. Не нужно считать число 3,5 целым, а число 8 исключать: правая граница включена. Проверьте подстановкой края: при x = 4 верны 9 ≥ 8 и −4 ≥ −8; при x = 8 верны 17 ≥ 8 и −8 ≥ −8.

В ответе ученика важно видеть три записи: пересечение на вещественной прямой, список целых и количество. Если указано только количество, невозможно понять, потерян ли 0 или неверно обработана граница. Для проверки количества в непустом конечном списке от первого до последнего используйте правило «последнее − первое + 1», но лишь после того, как точно установлены крайние целые.

Ключи: интервал, целые решения и количество

1. Пересечение (-3; 2]; целые решения: -2, -1, 0, 1, 2; количество 5. Проверяются оба граничных числа.
2. Пересечение [-2; 4); целые решения: -2, -1, 0, 1, 2, 3; количество 6. Проверяются оба граничных числа.
3. Пересечение (1/2; 5]; целые решения: 1, 2, 3, 4, 5; количество 5. Проверяются оба граничных числа.
4. Пересечение [-2; 7/2); целые решения: -2, -1, 0, 1, 2, 3; количество 6. Проверяются оба граничных числа.
5. Пересечение [-2; 2); целые решения: -2, -1, 0, 1; количество 4. Проверяются оба граничных числа.
6. Пересечение (-2; 1]; целые решения: -1, 0, 1; количество 3. Проверяются оба граничных числа.
7. Пересечение [-1; -1]; целые решения: -1; количество 1. Проверяются оба граничных числа.
8. Пересечение (2; 3); целые решения: нет; количество 0. Проверяются оба граничных числа.
9. Пересечение [7/2; 8]; целые решения: 4, 5, 6, 7, 8; количество 5. Проверяются оба граничных числа.
10. Пересечение (-2; 3]; целые решения: -1, 0, 1, 2, 3; количество 5. Проверяются оба граничных числа.
11. Пересечение (5/3; 6]; целые решения: 2, 3, 4, 5, 6; количество 5. Проверяются оба граничных числа.
12. Пересечение [-5; -1/2); целые решения: -5, -4, -3, -2, -1; количество 5. Проверяются оба граничных числа.
13. Пересечение (0; 3]; целые решения: 1, 2, 3; количество 3. Проверяются оба граничных числа.
14. Пересечение (-7/2; 0]; целые решения: -3, -2, -1, 0; количество 4. Проверяются оба граничных числа.

Критерий самопроверки: каждое выписанное число удовлетворяет обоим исходным неравенствам; числа непосредственно перед первым и после последнего либо нарушают одно из условий, либо находятся вне границы. Всегда проверьте 0, если он попадает в промежуток: его часто случайно исключают из множества целых чисел.

Для учителя: попросите ученика, ошибшегося только на границе, не переделывать всё вычисление. Достаточно подставить спорное число в исходное неравенство и подписать «подходит» или «не подходит». Если ошибки возникают из-за отрицательного коэффициента, используйте ещё один пример на изменение направления знака при делении.