Тренажёр для 8 класса — сокращение дроби после разложения числителя

В этом тренажёре общий множитель в числителе часто скрыт суммой или разностью. Сначала разложите числитель на множители, затем проверьте, есть ли одинаковый множитель в знаменателе. Последний этап — сохранить ОДЗ исходной дроби. Именно порядок действий отличает этот материал от обычного сокращения готовых произведений.

Схема приёма: (ab+ac)/(a+b) — вынесение общего множителя из числителя само по себе не гарантирует сокращения. Например, (3x+6)/[5(x+2)] = 3(x+2)/[5(x+2)] = 3/5 при x≠−2. Если во втором множителе остаётся другая сумма, сокращения нет. Для 8 класса используются знакомые формулы разности квадратов и вынесение общего множителя.

Наблюдение: одинаковые на вид ответы имеют разные запреты

Проверьте, почему в первой строке нельзя поставить x=−2, даже если упрощённое выражение равно 4. Дробь из исходного столбца имеет нулевой знаменатель. Такие ограничения обязательно включаются в ключ.

Серия I. Числитель разлагается вынесением общего множителя

1. Разложите числитель, сократите (3x+12)/(x+4) и запишите ОДЗ.
2. Разложите числитель, сократите (5a−15)/(a−3) и запишите ОДЗ.
3. Разложите числитель, сократите (7y+14)/(y+2) и запишите ОДЗ.
4. Разложите числитель, сократите (6t²+18t)/(3t) и запишите ОДЗ.
5. Разложите числитель, сократите (8m²−16m)/(4m) и запишите ОДЗ.
6. Разложите числитель, сократите (9p²+27p)/(9p) и запишите ОДЗ.
7. Разложите числитель, сократите (12b²−6b)/(6b) и запишите ОДЗ.
8. Разложите числитель, сократите (15q²+5q)/(5q) и запишите ОДЗ.
9. Разложите числитель, сократите (10z²−30z)/(5z) и запишите ОДЗ.
10. Разложите числитель, сократите (4s²+12s)/(2s) и запишите ОДЗ.

Серия II. Разность квадратов в числителе

11. Сначала используйте разность квадратов, потом сократите (x²−25)/(x−5).
12. Сначала используйте разность квадратов, потом сократите (a²−16)/(a+4).
13. Сначала используйте разность квадратов, потом сократите (t²−49)/(t−7).
14. Сначала используйте разность квадратов, потом сократите (y²−1)/(y+1).
15. Сначала используйте разность квадратов, потом сократите (m²−36)/(m−6).
16. Сначала используйте разность квадратов, потом сократите (p²−81)/(p+9).
17. Сначала используйте разность квадратов, потом сократите (4x²−9)/(2x−3).
18. Сначала используйте разность квадратов, потом сократите (9a²−1)/(3a+1).

Серия III. Смешанные примеры и исследование ограничений

19. Найдите результат и запреты для дроби (2x²+8x)/(2x); проверьте обратной подстановкой.
20. Найдите результат и запреты для дроби (3y²−12y)/(3y); проверьте обратной подстановкой.
21. Найдите результат и запреты для дроби (2a²−18)/(a−3); проверьте обратной подстановкой.
22. Найдите результат и запреты для дроби (5t²−20)/(t+2); проверьте обратной подстановкой.
23. Найдите результат и запреты для дроби (x²−4)/(2x+4); проверьте обратной подстановкой.
24. Найдите результат и запреты для дроби (6m²−24m)/(3m); проверьте обратной подстановкой.
25. Найдите результат и запреты для дроби (9z²−36)/(3z−6); проверьте обратной подстановкой.
26. Найдите результат и запреты для дроби (4u²−16u)/(8u); проверьте обратной подстановкой.

Ключ, 26 заданий

1. 3 при x ≠ −4. Начните с разложения числителя; исключение взято из исходного знаменателя.
2. 5 при a ≠ 3. Начните с разложения числителя; исключение взято из исходного знаменателя.
3. 7 при y ≠ −2. Начните с разложения числителя; исключение взято из исходного знаменателя.
4. 2(t+3) при t ≠ 0. Начните с разложения числителя; исключение взято из исходного знаменателя.
5. 2(m−2) при m ≠ 0. Начните с разложения числителя; исключение взято из исходного знаменателя.
6. p+3 при p ≠ 0. Начните с разложения числителя; исключение взято из исходного знаменателя.
7. 2b−1 при b ≠ 0. Начните с разложения числителя; исключение взято из исходного знаменателя.
8. 3q+1 при q ≠ 0. Начните с разложения числителя; исключение взято из исходного знаменателя.
9. 2(z−3) при z ≠ 0. Начните с разложения числителя; исключение взято из исходного знаменателя.
10. 2(s+3) при s ≠ 0. Начните с разложения числителя; исключение взято из исходного знаменателя.

11. x+5 при x ≠ 5. Начните с разложения числителя; исключение взято из исходного знаменателя.
12. a−4 при a ≠ −4. Начните с разложения числителя; исключение взято из исходного знаменателя.
13. t+7 при t ≠ 7. Начните с разложения числителя; исключение взято из исходного знаменателя.
14. y−1 при y ≠ −1. Начните с разложения числителя; исключение взято из исходного знаменателя.
15. m+6 при m ≠ 6. Начните с разложения числителя; исключение взято из исходного знаменателя.
16. p−9 при p ≠ −9. Начните с разложения числителя; исключение взято из исходного знаменателя.
17. 2x+3 при x ≠ 3/2. Начните с разложения числителя; исключение взято из исходного знаменателя.
18. 3a−1 при a ≠ −1/3. Начните с разложения числителя; исключение взято из исходного знаменателя.

19. x+4 при x ≠ 0. Начните с разложения числителя; исключение взято из исходного знаменателя.
20. y−4 при y ≠ 0. Начните с разложения числителя; исключение взято из исходного знаменателя.
21. 2(a+3) при a ≠ 3. Начните с разложения числителя; исключение взято из исходного знаменателя.
22. 5(t−2) при t ≠ −2. Начните с разложения числителя; исключение взято из исходного знаменателя.
23. (x−2)/2 при x ≠ −2. Начните с разложения числителя; исключение взято из исходного знаменателя.
24. 2(m−4) при m ≠ 0. Начните с разложения числителя; исключение взято из исходного знаменателя.
25. 3(z+2) при z ≠ 2. Начните с разложения числителя; исключение взято из исходного знаменателя.
26. (u−4)/2 при u ≠ 0. Начните с разложения числителя; исключение взято из исходного знаменателя.

Как оценить работу и доказать правильность

За каждое задание можно дать два балла: один за правильное преобразование и один за сохранённую ОДЗ. При разности квадратов сначала письменно проверьте тождество A²−B²=(A−B)(A+B). Не допускайте записи «x²−25=(x−25)(x+25)»: при x=6 слева 11, справа отрицательное число. Для дроби (4x²−9)/(2x−3) разложение обязано дать (2x−3)(2x+3), а запрет x=3/2 остаётся.

Самостоятельная проверка выполняется подстановкой разрешённого значения в обе формы дроби. Например, для (x²−25)/(x−5) при x=6 получается 11/1=11; сокращённое выражение x+5 тоже равно 11. А x=5 запрещён, хотя упрощённое выражение допускает вычисление: это другой вопрос. По итогам полезно отдельно отметить ошибки разложения и ошибки забытых ограничений.

Три уровня анализа: множитель, тождество, ОДЗ

Первый уровень — увидеть, что весь числитель состоит из слагаемых с общим множителем. В дроби (6t²+18t)/(3t) общий множитель числителя — 6t, поэтому после сокращения получается 2(t+3), но t=0 запрещён. В отличие от простого вычисления, здесь нельзя начинать с бессистемного вычёркивания t: требуется сначала показать равенство 6t²+18t=6t(t+3).

Второй уровень — узнать разность квадратов. В выражении (9a²−1)/(3a+1) числитель равен (3a−1)(3a+1). Если заменить его ошибочно на (9a−1)(9a+1), проверка раскрытием скобок даст 81a²−1, а это другое выражение. Когда квадрат стоит перед переменной, проверяйте именно квадрат всего множителя: (3a)²=9a², а (2x)²=4x². Поэтому для 4x²−9 подходят множители 2x−3 и 2x+3.

Третий уровень — согласовать сокращение с исходной областью допустимых значений. У результата x+5 в задаче 11 нет знаменателя, но это не означает, что x=5 допустим. Вычислять нужно исходную дробь, а не новую формулу, если вопрос касается ОДЗ. То же относится к заданиям 12–18 и к примерам, где итоговое выражение является многочленом.

Для сильных учеников предложите доказать в общем виде: если A(x)=B(x)·C(x), то A(x)/B(x)=C(x) при B(x)≠0. Здесь важно не само сокращение, а обязательное условие B(x)≠0. Затем пусть учащийся найдёт в контрольной серии упражнение с двумя ограничениями, если такие ограничения скрыты в исходной форме. Если не найдёт, попросите объяснить почему — все исходные знаменатели в данной серии дают один запрещённый корень.

На уроке удобно проводить взаимопроверку без шаблонной оценки по одним только последним ответам. Первый проверяющий ищет корректное разложение, второй — верно записанную ОДЗ, третий по выбору подставляет допустимое значение. Если обнаружена ошибка, ученик указывает, на каком шаге произошло нарушение: вынесение множителя, формула разности квадратов, сокращение или восстановление недопустимого значения.

Мини-исследование на основе карточек: возьмите дроби (3x+12)/(x+4) и (x²−25)/(x−5). Первая упрощается до постоянного числа 3, вторая — до переменного выражения x+5. Объясните, почему обе операции имеют общую логическую структуру: разложение числителя, поиск одинакового множителя в знаменателе, сокращение на ненулевой множитель. Различие заключается в том, какой второй множитель остаётся после сокращения. Проверьте обе дроби при x=1 и при x=6 соответственно, а затем попробуйте подставить запрещённые значения −4 и 5 в исходные записи. Вы убедитесь, что сокращение не делает деление на ноль разрешённым.

Задания 21, 22 и 25 содержат числовой множитель перед разностью квадратов; нельзя забывать его после сокращения. Например, 5(t²−4)/(t+2) превращается в 5(t−2), а не просто t−2. В упражнении 25 результат (x−2)/2 сохраняет числовой знаменатель 2: он не равен x−2. Чтобы увидеть эту разницу, можно выполнить контрольную подстановку x=0 — обе формы дадут −1.

Не следует торопиться с ответом в упражнениях 21 и 22: если числитель 2a²−18, сначала вынесите 2 и получите 2(a²−9), затем разложите квадратную разность. Если числитель 5t²−20, вынесите 5 и запишите 5(t²−4). Только после этого сокращайте общую скобку со знаменателем. Такой порядок позволяет видеть, какой числовой множитель остаётся в результате, и предотвращает потерю коэффициента.

Отдельный повод для обсуждения — знак при разложении. Числитель x²−25 легко представить как (x−5)(x+5), но выражение 25−x² имеет другой знак и раскладывается как (5−x)(5+x). Если сократить не ту скобку, ответ может отличаться знаком минус. Проверить это можно на x=0: первая разность равна −25, вторая — 25. Полезно сначала мысленно подставить ноль, чтобы понять, какой знак должен иметь произведение. Этот приём особенно помогает при разложении выражений с отрицательным первым слагаемым.

Завершающий протокол для каждой карточки таков: выписать нули исходного знаменателя; найти общий множитель, предварительно преобразовав числитель; выполнить сокращение только на ненулевой множитель; указать результат вместе с ограничениями; выбрать одно допустимое значение и выполнить числовую проверку. Если обе формы совпали на одном значении, это полезный сигнал, но математическое обоснование по-прежнему заключается в корректном тождественном разложении. При исправлении работы стоит подчёркивать ровно ту строку, где ученик нарушил шаг алгоритма.