Тренажёр для 9 класса — косинус острого угла прямоугольного треугольника

Короткое правило: косинус относится к конкретному острому углу

Пусть треугольник ABC прямоугольный, ∠C = 90°, AB — гипотенуза. Тогда cos A = AC/AB, так как AC — прилежащий к углу A катет. Для другого острого угла B прилежащим становится BC, поэтому cos B = BC/AB. Слова «прилежащий» и «противолежащий» всегда привязаны к выбранному углу.

Два разобранных примера

Пример 1. AC = 12 см, AB = 13 см. Тогда cos A = 12/13. Это правильная несократимая дробь; косинус острого угла положителен и меньше единицы.

Пример 2. AC = 8 м, AB = 17 м. Тогда cos A = 8/17. Если вместо прилежащего катета взять BC = 15, получится sin A = 15/17 — верное, но другое отношение. Поэтому перед решением подпишите угол.

Самостоятельный тренажёр: найдите косинус (1–8)

1. В △ABC угол C прямой; BC = 5, AC = 12, AB = 13. Найдите cos A в виде сокращённой дроби.
2. В △ABC угол C прямой; BC = 8, AC = 15, AB = 17. Найдите cos B в виде сокращённой дроби.
3. В △ABC угол C прямой; BC = 7, AC = 24, AB = 25. Найдите cos A в виде сокращённой дроби.
4. В △ABC угол C прямой; BC = 20, AC = 21, AB = 29. Найдите cos B в виде сокращённой дроби.
5. В △ABC угол C прямой; BC = 9, AC = 40, AB = 41. Найдите cos A в виде сокращённой дроби.
6. В △ABC угол C прямой; BC = 12, AC = 35, AB = 37. Найдите cos B в виде сокращённой дроби.
7. В △ABC угол C прямой; BC = 11, AC = 60, AB = 61. Найдите cos A в виде сокращённой дроби.
8. В △ABC угол C прямой; BC = 16, AC = 63, AB = 65. Найдите cos B в виде сокращённой дроби.

Найдите катет по косинусу (9–12)

Формула AC = AB · cos A работает, когда известна гипотенуза и косинус угла A. Не нужно вычислять неизвестный угол через таблицы: все необходимые отношения даны в условии.

9. В △ABC (∠C = 90°): AB = 13 см и cos A = 12/13. Найдите AC.
10. В △ABC (∠C = 90°): AB = 17 см и cos A = 15/17. Найдите AC.
11. В △ABC (∠C = 90°): AB = 25 см и cos A = 24/25. Найдите AC.
12. В △ABC (∠C = 90°): AB = 29 см и cos A = 21/29. Найдите AC.

Найдите гипотенузу (13–16)

Когда AC и cos A известны, AB = AC/cos A. Поскольку в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого катета, сравнение ответа с AC помогает сразу поймать перевёрнутую дробь.

13. AC = 40 дм, cos A = 40/41, угол C прямой. Определите длину AB.
14. AC = 35 дм, cos A = 35/37, угол C прямой. Определите длину AB.
15. AC = 60 дм, cos A = 60/61, угол C прямой. Определите длину AB.
16. AC = 63 дм, cos A = 63/65, угол C прямой. Определите длину AB.

Разбор ошибок: две контрольные ситуации (17–18)

17. В прямоугольном △ABC AB = 25, AC = 24, BC = 7. Ученик написал cos A = 7/25. Верно ли это? Исправьте и назовите его ошибку.
18. В прямоугольном △ABC AB = 13, AC = 5, BC = 12. Сравните cos A и cos B; какой из двух углов меньше?

Ключ: краткие решения для самопроверки

1. cos A = 12/13 = 12/13 (прилежащий катет AC).
2. cos B = 8/17 = 8/17 (прилежащий катет BC).
3. cos A = 24/25 = 24/25 (прилежащий катет AC).
4. cos B = 20/29 = 20/29 (прилежащий катет BC).
5. cos A = 40/41 = 40/41 (прилежащий катет AC).
6. cos B = 12/37 = 12/37 (прилежащий катет BC).
7. cos A = 60/61 = 60/61 (прилежащий катет AC).
8. cos B = 16/65 = 16/65 (прилежащий катет BC).

9. AC = 13·12/13 = 12 см. Проверка: 12/13 = 12/13.
10. AC = 17·15/17 = 15 см. Проверка: 15/17 = 15/17.
11. AC = 25·24/25 = 24 см. Проверка: 24/25 = 24/25.
12. AC = 29·21/29 = 21 см. Проверка: 21/29 = 21/29.

13. AB = 40 : 40/41 = 41 дм. 41 > 40, проверка выполнена.
14. AB = 35 : 35/37 = 37 дм. 37 > 35, проверка выполнена.
15. AB = 60 : 60/61 = 61 дм. 61 > 60, проверка выполнена.
16. AB = 63 : 63/65 = 65 дм. 65 > 63, проверка выполнена.

17. Неверно: cos A = 24/25. Число 7/25 — это sin A, поскольку BC лежит напротив угла A.
18. cos A = 5/13, cos B = 12/13, поэтому угол B меньше: большему косинусу острого угла соответствует меньший угол (в пределах 0°–90°).

Две проверки после любого вычисления: косинус острого угла должен быть между 0 и 1; гипотенуза длиннее катета. В заданиях на поиск стороны используйте обратное действие, чтобы восстановить данное отношение. В заданиях 17 и 18 объяснение важнее одного численного ответа, так как оно показывает, что ученик не спутал синус с косинусом.

Подсказка при ошибках: обведите нужный острый угол, закройте пальцем гипотенузу, затем найдите катет, который образует этот угол вместе с гипотенузой. Это прилежащий катет. После этого откройте гипотенузу и составьте отношение. Если косинус получился равен 13/12 или 17/8, дробь перевёрнута. Это можно заметить ещё до окончательной проверки.

Вопрос на понимание: можно ли измерять косинус в сантиметрах? Нет. Это отношение двух длин, поэтому единицы измерения сокращаются. Например, 12 см / 13 см = 12/13. Длину же катета, найденную по косинусу, записывают в исходных единицах.

Учителю: для быстрой оценки используйте 1–8 как устную проверку, 9–16 как письменную самостоятельную работу, 17–18 как анализ рассуждения. Ученик, ошибшийся в определении прилежащей стороны, сначала должен повторить обозначения углов и сторон; простое увеличение количества вычислений без этого не устранит причину. Тема опирается на стандартные свойства прямоугольного треугольника 9 класса.

Быстрая проверка размерности и рисунка

В заданиях, где нужно найти сторону, ответ выражается в сантиметрах или дециметрах. В заданиях, где требуется сам косинус, ответ не имеет единиц измерения: отношение двух длин безразмерно. Если в ответе к первому блоку появилась запись «12/13 см», уберите «см» и поясните, что обе исходные длины сократились при делении.

Проведите дополнительный опыт: поверните чертёж на 90 градусов и вновь назовите прилежащий к A катет. Если ответ изменился, значит ученик выбирал сторону по положению на листе, а не по геометрическому определению. Эта проверка помогает перенести навык на незнакомые рисунки.