Тренажёр для 9 класса — размах числового ряда и разброс значений

9 класс · 16 заданий · 20 минут. Ключевой показатель этой карточки — размах, то есть разница между наибольшим и наименьшим наблюдениями. Никаких сложных формул дисперсии не требуется. Можно решать в тетради, затем сверить ответы по отдельному ключу.

Мини-тест: сначала самостоятельно

1. Найдите размах ряда: 4, 7, 9, 12.
2. Вычислите размах: −5, −1, 2, 6.
3. В ряду 3, 3, 3, 3 все элементы равны. Чему равен размах?
4. Минимальное значение равно 8, максимальное — 25. Найдите размах.
5. Размах ряда равен 15, минимальное число — −4. Чему равно максимальное?
6. Размах 13, наибольшее число 29. Найдите наименьшее.

До перехода к остальным задачам проверьте, что вы искали крайние значения, а не разность соседних чисел. Если в ряду все числа совпали, разброс по размаху отсутствует.

Задачи с ловушками и сравнениями

7. Сравните первый и последний элементы ряда 4, 9, 11, 18, 7. Можно ли по ним без просмотра остальных найти размах? Укажите правильный размах.
8. Найдите размах набора 2, 4, 4, 6, 8; влияет ли повторение четвёрки на результат?
9. Сравните размах A = {7, 8, 9} и B = {1, 8, 15}. Где разброс по размаху больше?
10. В наборе {6, 9, 12} дописали число 100. Как изменился размах?
11. Для набора 11, 13, 14, 15, 24 вычислите размах до и после удаления числа 24.
12. Если ко всем числам ряда прибавить 3, изменится ли размах? Объясните.

В отличие от среднего арифметического, размах не учитывает, насколько часто встречается каждое внутреннее значение. Достаточно двух крайних наблюдений; поэтому одно очень большое число способно резко увеличить ответ.

Закрепление: преобразуем числовые ряды

13. Если все значения набора 2, 5, 9 умножить на 2, каким станет размах?
14. Найдите максимальное значение, если минимум −3, а размах 14.
15. К данным 2, 5, 9 добавили число 7. Найдите размах нового ряда.
16. Два набора имеют одинаковое среднее 8: A = {7, 8, 9}, B = {1, 8, 15}. Одинакова ли у них величина размаха? Сформулируйте вывод.

Как понять размах — небольшое исследование

Представьте результаты забега на короткую дистанцию: 13, 14, 14, 15, 15 секунд. Размах равен 15 − 13 = 2 секунды. В другой группе времена 9, 14, 14, 15, 20 секунд. Средний результат у обеих групп одинаковый — 14,2 и 14,4 секунды соответственно, но второй набор гораздо менее ровный: размах 20 − 9 = 11 секунд. Так размах помогает обсуждать отличие групп, которое нельзя заметить, глядя только на типичное значение. При этом «разброс по размаху» не равнозначен всем статистическим показателям изменчивости: он использует только минимум и максимум.

Если из ряда удаляют наблюдение, сначала подумайте, было ли оно одним из крайних. Удаление внутреннего числа само по себе не меняет размах, а удаление единственного минимального или максимального может его изменить. Например, у чисел 2, 3, 7, 9 размах 7; после удаления 7 он останется 7, но после удаления 9 уменьшится до 5. Повторяющиеся крайние элементы требуют аккуратности: если убрать только одну из двух девяток, максимум по-прежнему 9.

Ещё один способ проверки — оценка результата. Размах должен быть неотрицательным, равняться нулю только для постоянного набора и не превышать разницы между заранее известными границами измерений. Если получилась отрицательная величина, значит, вычитание выполнено в неверном порядке. Если результат оказался больше всей возможной шкалы, проверьте, правильно ли прочитаны исходные данные.

Учителю и родителю: как провести обсуждение

Задайте ученику три вопроса без вычислений: какое число является минимальным, какое максимальным и что произойдёт, если поменять порядок записи наблюдений? Правильный вывод: порядок не влияет на размах. Попросите самостоятельно придумать два ряда с одинаковым размахом, но разными средними значениями. Например, {1, 3, 5} и {11, 13, 15}: оба имеют размах 4. Таким образом, ученик показывает понимание свойства, а не только навыка вычитания.

Ответы и разбор для учителя и самопроверки

Эту часть можно не включать в ученическую распечатку. Проверяйте не только итоговое число, но и записанное обоснование; при ошибке сначала найдите неверный шаг, затем повторите аналогичное задание.

1. 12 − 4 = 8.
2. 6 − (−5) = 11.
3. 3 − 3 = 0.
4. 25 − 8 = 17.
5. −4 + 15 = 11.
6. 29 − 13 = 16.
7. Нет: последний элемент 7 не максимум. Наименьшее 4, наибольшее 18; размах 14.
8. 8 − 2 = 6; повторы внутри ряда не влияют.
9. Для A: 9 − 7 = 2; для B: 15 − 1 = 14. Больше у B.
10. Раньше 12 − 6 = 6, после добавления 100: 100 − 6 = 94, увеличение на 88.
11. До удаления: 24 − 11 = 13; после: 15 − 11 = 4.
12. Нет. (max + 3) − (min + 3) = max − min.
13. Исходно 9 − 2 = 7; после умножения: 18 − 4 = 14.
14. −3 + 14 = 11.
15. 7, так как новый элемент находится между 2 и 9.
16. Нет. Размах A = 2, размах B = 14. Совпадение среднего не означает совпадения разброса.

Способ быстрой взаимопроверки: один ученик подчёркивает минимальное значение, другой — максимальное, затем они независимо вычитают. В задачах 10–13 нужно указать значение размаха до изменения и после него.