Тригонометрическое уравнение с параметром на окружности — тренажёр по математике, 11 класс

Работаем на единичной окружности. Если специально не указано иное, ищите x∈[0; 2π); число 2π не включается, поэтому совпадающие с 0 точки не считаются дважды. Для sin x=a и cos x=a существование решения требует −1≤a≤1. На окружности точки с одинаковой ординатой или абсциссой обычно две; на крайних уровнях — одна.

Содержание статьи7 разделов

Способ: перевести уравнение в пересечение окружности с прямой

  1. На окружности x²коорд+y²коорд=1 значение sin t — ордината, значение cos t — абсцисса.
  2. Найдите допустимый диапазон правой части с параметром. Если он вне [−1;1], нет ни одной точки.
  3. Определите число пересечений соответствующей горизонтальной или вертикальной прямой с окружностью; для синуса и косинуса у крайних значений ±1 одна точка.
  4. Укажите точные углы из [0;2π); если аргумент 2x, нужно учесть полный диапазон 2x∈[0;4π).

Три разобранных примера

Пример A. sin x=a. При |a|>1 нет корней, при a=±1 ровно один, при −1<a<1 два. В частности, при a=0 это x=0 и x=π, а не один корень.

Пример Б. cos x=2a−1. Для существования надо −1≤2a−1≤1, значит 0≤a≤1. При a=0 получаем x=π, при a=1 — x=0, а при 0<a<1 два различных угла.

Пример В. cos(2x)=0. На [0;2π) аргумент 2x проходит два оборота. Получаем x=π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4 — четыре корня, а не два.

Тренажёр: 15 заданий с частичными подсказками

Серия I — точные углы на окружности

  1. Найдите x: sin x=1/2.

    Подсказка: сначала определите четверть. Ответ: ______________

  2. Найдите x: cos x=−√2/2.

    Подсказка: сначала определите четверть. Ответ: ______________

  3. Найдите x: sin x=−√3/2.

    Подсказка: сначала определите четверть. Ответ: ______________

  4. Найдите x: cos x=1/2.

    Подсказка: сначала определите четверть. Ответ: ______________

Серия II — параметр и количество пересечений

  1. Сколько корней у sin x=2a−1 в зависимости от a?

    Подсказка: запишите условие −1≤правая часть≤1. Число корней: ______________

  2. Сколько корней у cos x=a+1/2?

    Подсказка: запишите условие −1≤правая часть≤1. Число корней: ______________

  3. Сколько корней у cos(2x)=a?

    Подсказка: запишите условие −1≤правая часть≤1. Число корней: ______________

  4. Найдите x: sin(x−π/2)=0.

    Подсказка: запишите условие −1≤правая часть≤1. Число корней: ______________

  5. Найдите x: cos x=−1.

    Подсказка: запишите условие −1≤правая часть≤1. Число корней: ______________

  6. Сколько решений имеет sin x=a²?

    Подсказка: запишите условие −1≤правая часть≤1. Число корней: ______________

  7. Сколько решений имеет cos x=a²−2?

    Подсказка: запишите условие −1≤правая часть≤1. Число корней: ______________

Серия III — несколько условий и полный оборот

  1. Найдите параметр a, при котором одновременно sin x=a и cos x=a; укажите x.

    Проверка диапазона и ответа: _______________________

  2. Найдите x: sin x=−1.

    Проверка диапазона и ответа: _______________________

  3. Найдите x: cos(2x)=1.

    Проверка диапазона и ответа: _______________________

  4. Сколько решений у sin(x−π/2)=a?

    Проверка диапазона и ответа: _______________________

Решения по шагам

№ Точный ответ и пояснение
1 π/6 и 5π/6: две точки с ординатой 1/2.
2 3π/4 и 5π/4: абсцисса отрицательна во II и III четвертях.
3 4π/3 и 5π/3: отрицательная ордината в III и IV четвертях.
4 π/3 и 5π/3: две симметричные точки по оси Ox.
5 a<0 или a>1: 0; a=0 или a=1: 1; 0<a<1: 2.
6 a<−3/2 или a>1/2: 0; a=−3/2 или a=1/2: 1; −3/2<a<1/2: 2.
7 |a|>1: 0; a=±1: 2; −1<a<1: 4, так как совершаются два оборота.
8 sin(x−π/2)=−cos x, поэтому x=π/2 и 3π/2.
9 x=π, ровно одна точка на левом краю окружности.
10 |a|>1: нет; a=±1: один x=π/2; |a|<1: два (при a=0: x=0,π).
11 |a|<1 или |a|>√3: 0; |a|=1 или |a|=√3: 1; 1<|a|<√3: 2.
12 Из 2a²=1: a=±√2/2. Если a=√2/2, x=π/4; если a=−√2/2, x=5π/4. Для прочих a пары нет.
13 x=3π/2, единственная нижняя точка.
14 x=0 и π. Значение x=2π не входит в полуинтервал.
15 Это −cos x=a: |a|>1: 0; a=±1: 1; −1<a<1: 2.

Главные ловушки: повторное включение 2π; потеря второй точки на окружности; неверный подсчёт при двойном аргументе 2x. Если значение a выражается через квадрат a², диапазон нужно выводить из неравенства относительно a², а не считать параметр положительным заранее.

Проверка тренажёра: для заданий 1–4 и 8–9, 13–14 подставьте точный угол в синус или косинус; для параметрических заданий проверьте отдельно границы допустимого интервала параметра. Ответы относятся только к отрезку, у которого правая граница 2π исключена; на всей прямой добавляются периодические слагаемые.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым