Целые решения рационального неравенства — проверочная работа, 9 класс

Прикладная проверочная работа. Небольшая типография печатает учебные карточки. Подготовка макета стоит 3600 тг на весь заказ, печать каждой карточки — 45 тг. Нужно выбрать целый положительный тираж n, чтобы средние затраты не превышали заданный предел.

Данные кейса

Модель: C(n) = (3600 + 45n)/n = 3600/n + 45 тг/шт. ОДЗ: n ≠ 0; по смыслу n ∈ {1,2,3,…}. Таблица содержит лишь несколько контрольных тиражей, а не все разрешённые значения.

Образец решения

Пусть средняя стоимость не выше 95 тг. Неравенство (3600 + 45n)/n ≤ 95 при n > 0 равносильно 3600 + 45n ≤ 95n, откуда 50n ≥ 3600, то есть n ≥ 72. Мы умножили обе части на положительное n, не меняя знак. Проверка: C(72) = 95 тг/шт. Если граница дробная, для наименьшего натурального n округляем вверх.

15 связанных заданий — от таблицы к неравенству

1. По формуле C(n) найдите среднюю стоимость для n = 40 и объясните, почему она больше переменной цены 45 тг.
2. Сколько тенге за штуку получается при n = 60?
3. Вычислите C(90).
4. Проверьте значение C(120).
5. В таблице приведено n = 150. Найдите C(150) и проверьте указанное значение.
6. Найдите все целые n ≥ 1, при которых C(n) ≤ 90 тг. Назовите наименьший тираж.
7. Найдите наименьший целый тираж, чтобы C(n) ≤ 100 тг.
8. Сколько минимум штук нужно для C(n) ≤ 80 тг?
9. Решите C(n) ≤ 70 тг в натуральных числах.
10. Склад допускает не более 110 штук. Возможна ли средняя стоимость не выше 75 тг?
11. Тираж может лежать от 50 до 100 включительно. При C(n) ≤ 95 тг перечислите допустимые n диапазоном и подсчитайте их количество.
12. Подставьте n = 72 и проверьте, достигает ли средняя стоимость порога 95 тг точно.
13. Есть ли положительное целое n, для которого C(n) ≤ 45 тг? Обоснуйте через рациональное неравенство.
14. Общий бюджет на производство — не более 10 000 тг. Одновременно требуется C(n) ≤ 90 тг. Найдите все допустимые натуральные n и их количество.
15. Расход на запуск вырос до 4000 тг, стоимость экземпляра осталась 45 тг. Каков минимальный тираж при новой средней цене не выше 85 тг?

Ответы и объяснения с проверкой единиц

1. 135 тг/шт. (3600 + 45·40)/40 = 5400/40. Фиксированная стоимость 3600 делится на 40 единиц, поэтому средняя выше 45.
2. 105 тг/шт. 3600/60 + 45 = 60 + 45.
3. 85 тг/шт. 3600/90 + 45 = 40 + 45.
4. 75 тг/шт. 3600/120 + 45 = 30 + 45.
5. 69 тг/шт. 3600/150 + 45 = 24 + 45. Значение таблицы верно.
6. n ∈ {80, 81, 82, …}; минимум 80. При n > 0: 3600/n + 45 ≤ 90 ⇔ 3600 ≤ 45n ⇔ n ≥ 80. Подстановка n = 80: 3600/80 + 45 = 90.
7. 66 штук. 3600/n + 45 ≤ 100 ⇔ 55n ≥ 3600 ⇔ n ≥ 3600/55 ≈ 65,45; поскольку n целое, округляем вверх. При 65 условие ещё не выполнено.
8. 103 штуки. 3600/n + 45 ≤ 80 ⇔ 35n ≥ 3600 ⇔ n ≥ 102 6/7; наименьшее целое 103.
9. n ≥ 144, n ∈ ℕ. 3600/n ≤ 25 ⇔ 3600 ≤ 25n. При n = 144 цена ровно 70 тг/шт.
10. Невозможно. Условие 3600/n + 45 ≤ 75 требует n ≥ 120, но склад допускает только n ≤ 110. Пересечение пустое.
11. n = 72, 73, …, 100; 29 значений. 3600/n + 45 ≤ 95 ⇔ n ≥ 72. Число целых от 72 до 100 равно 100 − 72 + 1 = 29.
12. Да, ровно 95 тг/шт. 3600/72 + 45 = 50 + 45. Граничное значение n = 72 включается.
13. Нет. 3600/n ≤ 0 невозможно при n > 0, ведь дробь строго положительна. Средняя цена больше 45 тг для любого конечного тиража.
14. n = 80, …, 142; 63 значения. Из средней цены n ≥ 80. Из 3600 + 45n ≤ 10000 получаем n ≤ 6400/45 ≈ 142,22, значит максимум 142. Количество 142 − 80 + 1 = 63; при 143 бюджет превышен.
15. 100 штук. 4000/n + 45 ≤ 85 ⇔ 4000/n ≤ 40 ⇔ n ≥ 100. Подстановка даёт 4000/100 + 45 = 85 тг/шт.

Критерии проверки

В заданиях 1–5 — по 1 баллу, в 6–15 — по 2 балла (за правильное преобразование с ОДЗ и за целочисленный ответ). Всего 25 баллов. 22–25 — «5», 18–21 — «4», 13–17 — «3». Запись только действительного интервала, без отбора натуральных чисел, не считается полным ответом.

Почему нельзя терять ОДЗ и смысл задачи

• n = 0 запрещено. Деление на ноль невозможно, а нулевой тираж не имеет средней цены.
• n отрицательное неприемлемо. Количество изделий не может быть отрицательным.
• Стоимость измеряется в тг/шт. Общий бюджет 10 000 тг — иная величина; его нельзя сравнивать со средней ценой.
• Округление вверх обязательно при поиске минимального натурального n, если граница дробная.
• Проверяем все ограничения одновременно. В задании 14 учитываются и бюджет, и средняя стоимость.

Вывод: рациональное неравенство даёт диапазон действительных значений, но итоговый ответ должен содержать только положительные целые тиражи, удовлетворяющие всем ограничениям.

Почему ответ — не обычный интервал

При C(n) ≤ 100 мы сначала получаем n ≥ 3600/55. Если бы n обозначало действительную величину, множество начиналось бы с дробного числа около 65,45. Но печатать 65,45 карточки нельзя: тираж выражается в штуках и является натуральным числом. Поэтому первый допустимый тираж — 66. Проверка снизу: при n = 65 средняя стоимость равна примерно 100,38 тг/шт., что больше порога. При n = 66 получаем примерно 99,55 тг/шт., что уже подходит. Так видно, почему нужно округлять вверх, а не до ближайшего целого.

Одновременные ограничения и отсутствие решения

В задании 10 два требования противоречат друг другу: цена ≤ 75 тг/шт. требует как минимум 120 изделий, а склад рассчитан максимум на 110. Нельзя взять среднее значение 115 и считать, что компромисс найден: оно нарушает оба ограничения одновременно. В задаче 14 ситуация обратная — допустимый диапазон непуст. Средняя цена требует n ≥ 80, бюджет требует n ≤ 142, а положительная целочисленность означает n = 80, 81, …, 142.

Смысл знака знаменателя

При решении неравенства (3600 + 45n)/n ≤ L нельзя просто домножить на любое n, не проверив его знак. Умножение неравенства на отрицательное число меняет направление знака. В нашем кейсе n положительно по условию, поэтому преобразование законно и знак сохраняется. В чисто алгебраической задаче, где x может быть отрицательным, такое действие без разбора знаков было бы ошибкой. Сначала ОДЗ, затем знак множителя, и только после этого эквивалентное преобразование.

Как проверять денежные расчёты

В таблице «общий фиксированный расход» 3600 тг одинаков для всех тиражей; переменные расходы увеличиваются вместе с n. Средняя цена в тг/шт. уменьшается с ростом n, но всегда остаётся выше 45 тг/шт., потому что 3600/n > 0. Если в ответе оказалась средняя цена 40 тг/шт. или нулевой тираж, ошибка обнаруживается ещё до вычислений. Для проверки пограничного целого решения полезно считать стоимость в самой границе и на единицу ниже.