Учимся решать: натуральные числа между двумя границами — задания для 5 класса

В этой работе тренируем один точный вопрос: какие натуральные числа находятся между двумя названными границами? Натуральные числа здесь — 1, 2, 3, …; нуль не включаем. Фразы «строго между», «больше A и меньше B» и запись A < n < B означают, что сами границы не входят в ответ. В отличие от этого запись A ≤ n ≤ B допускает оба края. Важно каждый раз читать знаки, а не угадывать по картинке.

Разобранная ловушка: одно слово меняет ответ

Задание-образец: «Выпишите натуральные числа строго между 17 и 22». Ученик написал 17, 18, 19, 20, 21, 22. Здесь неверно включены 17 и 22. Верное решение: 18, 19, 20, 21. Проверка: каждое число больше 17 и меньше 22. Если вместо слова «строго» написано «от 17 до 22 включительно», набор будет другим: 17, 18, 19, 20, 21, 22.

Отдельная ловушка связана со счётом количества. Между целыми числами 17 и 22 четыре натуральных числа: 22 − 17 − 1 = 4. Формула подходит для целочисленных границ, когда правая больше левой хотя бы на 1. Если границы соседние, ответ нулевой. Для замкнутого промежутка при положительных натуральных границах количество равно B − A + 1.

Часть I. Исправьте чужую запись

Перед вами восемь ошибочных или неполных ответов. Не переписывайте их механически: найдите, какое число пропущено или добавлено лишним. Каждый раз запишите правильный набор, а рядом — правило, которым воспользовались.

1. Строго между 24 и 29 ученик назвал 24, 25, 26, 27, 28.
2. Строго между 48 и 52 записано 49, 50, 51, 52.
3. Строго между 101 и 106 записано 102, 104, 105.
4. От 31 до 35 включительно записано 32, 33, 34.
5. Больше 59, но меньше 62 ученик не нашёл чисел.
6. Между 800 и 803 строго записали 801, 802, 803.
7. Натуральные n: 6 ≤ n < 10. Ученик перечислил 7, 8, 9.
8. Натуральные n: 90 < n ≤ 93. Ученик записал 91, 92.

Промежуточная самопроверка: подставьте первое и последнее число собственного ответа в оба неравенства. Затем убедитесь, что между ними нет пропусков. Не ориентируйтесь только на количество: список из трёх чисел может содержать лишнюю границу и не содержать нужного числа одновременно.

Часть II. Тренируем границы и количество

Для каждого пункта запишите все подходящие натуральные числа и их количество. Если решений нет, поставьте знак ∅ и объясните почему. Внимательно смотрите, строгий или нестрогий знак стоит с каждой стороны.

9. 12 < n < 17
10. 42 ≤ n < 46
11. 68 < n ≤ 72
12. 105 ≤ n ≤ 109
13. 19 < n < 20
14. 1 < n < 5
15. 0 < n < 4
16. 998 < n ≤ 1002

Полезная модель — числовой луч. Для строгого знака обведите край пустым кружком: это значит «не брать». Для знака ≤ закрасьте край: он разрешён. Рисунок не должен заменять список натуральных чисел; отмечаем лишь целые точки, а промежутки между ними оставляем пустыми.

Часть III. Чистовая карточка — решите без подсказок

Здесь задания расположены от коротких к составным. В пунктах 17–20 перечислите числа, в 21–22 найдите границы или количество, а в 23–24 оцените верность рассуждения. Записывайте решение достаточно подробно, чтобы одноклассник смог воспроизвести его без устного пояснения.

17. Найдите натуральные числа: 73 < n < 78.
18. Найдите натуральные числа: 206 ≤ n < 210.
19. Найдите натуральные числа: 499 < n ≤ 503.
20. Укажите все натуральные n, удовлетворяющие 7 ≤ n ≤ 7.
21. Сколько натуральных чисел строго между 250 и 262? Не перечисляйте все.
22. Между какими соседними натуральными числами нет ни одного другого натурального числа? Приведите пример с границей 87.
23. Проверьте утверждение: «Если 14 < n ≤ 17, то n может равняться 14».
24. Проверьте утверждение: «Между 120 и 124 включительно ровно пять натуральных чисел».

Ответы и решения для проверки. Не выдавайте эту часть до завершения самостоятельной работы.

Исправления к части I

1. 25, 26, 27, 28: число 24 — граница, её убираем.
2. 49, 50, 51: 52 не подходит.
3. 102, 103, 104, 105: пропущено 103.
4. 31, 32, 33, 34, 35: при ≤ границы входят.
5. 60, 61: оба удовлетворяют двум условиям.
6. 801, 802: 803 исключаем.
7. 6, 7, 8, 9: левый край включён.
8. 91, 92, 93: правый край включён.

Ответы к части II

9. 13, 14, 15, 16; 4 числа.
10. 42, 43, 44, 45; 4 числа.
11. 69, 70, 71, 72; 4 числа.
12. 105, 106, 107, 108, 109; 5 чисел.
13. ∅: соседние целые числа, между ними нет натурального.
14. 2, 3, 4; 3 числа.
15. 1, 2, 3; 3 числа, нуль не включён.
16. 999, 1000, 1001, 1002; 4 числа.

Ключ к чистовой карточке

17. 74, 75, 76, 77.
18. 206, 207, 208, 209.
19. 500, 501, 502, 503.
20. Только 7: обе нестрогие границы совпадают.
21. 262 − 250 − 1 = 11.
22. Например, между 87 и 88: нет целого натурального числа.
23. Неверно: 14 не больше 14; возможны 15, 16, 17.
24. Верно: 120, 121, 122, 123, 124.

Как определить причину ошибки

• Включена лишняя граница: ученик не различает < и ≤. Вернитесь к разобранному примеру и проверьте крайнее число подстановкой.
• Пропущено число внутри: попросите выписать соседние числа подряд; перескакивать через разряд не нужно, даже когда встречаются 99 и 100.
• Неверное количество: сначала перечислите небольшой интервал. Затем сопоставьте его с формулами B − A − 1 и B − A + 1.
• Нуль принят за натуральное число: в этой карточке натуральные начинаются с 1; если в классе используют другую договорённость, учитель должен оговорить её перед работой.

Для дифференциации работы можно дать сильным ученикам пункты 9–24, а тем, кому нужна поддержка, предложить сначала 1–8 и работу на луче. Проверяйте не только итоговую последовательность, но и понимание вопроса «входят ли границы?». Если ребёнок способен объяснить знак каждого края и привести контрпример неправильному ответу, навык можно считать освоенным.

Почему иногда ошибаются даже сильные ученики

Первая причина — привычка читать две границы как указание «начать здесь и закончить здесь». Это правило подходит для замкнутого промежутка, но не для строгих знаков. Вторая причина — перенос способа из непрерывной числовой прямой: между 19 и 20 существуют дробные числа, но нет ни одного натурального. Третья причина — смешение перечня и подсчёта. Когда спрашивают количество натуральных чисел строго между 250 и 262, не требуется записывать одиннадцать значений: можно вычесть 1 из разности границ. В контрольной работе полезно сперва выделять слова «строго», «включительно» и знаки неравенства — они являются частью математического условия, а не дополнительным пояснением.

Если в задании один край включён, количество удобно находить так: B − A, при условии что A и B — целые положительные границы и A меньше B. Например, при 24 ≤ n < 29 получаются 24, 25, 26, 27, 28 — пять чисел, и 29 − 24 = 5. То же количество при 24 < n ≤ 29, но это уже другой набор: 25, 26, 27, 28, 29. Для одинаковых границ обязательно рассмотреть знаки: 7 ≤ n ≤ 7 имеет одно решение, а 7 < n < 7 решений не имеет. Эти частные случаи лучше проверять списком, а не применять формулу без осмысления.

Мини-приём для взаимопроверки: один ученик называет границы и знаки вслух, второй предлагает минимальное и максимальное натуральные значения, затем оба считают количество независимо. Такой обмен особенно хорошо обнаруживает ошибки в «включении края». Если результаты отличаются, нужно сравнить не скорость вычислений, а то, какие именно числа каждый участник допустил в своё множество. После обсуждения полезно придумать одно собственное условие с четырьмя решениями и передать его партнёру.