Учимся решать: построение треугольника по трём сторонам — задания для 7 класса

Построение циркулем и линейкой · 7 класс. На проверку 20–25 минут, плюс чертежи. Имя ученика: ____________________ Дата: ___________

Таблица выбора способа, двадцать наборов и отдельный ключ; не требуются программы для черчения.

Как построить по трём сторонам

Нужны линейка без измерительных допущений и циркуль. Для заданных длин AB = c, AC = b, BC = a сначала отложи AB = c. Проведи дугу с центром A радиусом b, затем дугу с центром B радиусом a. Если дуги пересекаются, выбери точку пересечения C и соедини её с A и B. Две симметричные точки пересечения дают равные треугольники по разные стороны AB.

Правило существования: сумма любых двух сторон должна быть строго больше третьей. Достаточно сложить две меньшие и сравнить с самой длинной. Если равенство, треугольник вырождается; если сумма меньше, дуги не пересекутся.

Пробное построение и проверка ошибки

Возьмём длины 4, 5 и 8 см. Сначала начертим AB длиной 8 см — это удобно, так как самая длинная сторона служит основой. Из точки A проведём дугу радиусом 4 см, из B — дугу радиусом 5 см. Они пересекутся в двух точках, по одну и другую сторону AB. Можно выбрать любую из них и назвать C. Проверка линейкой даст AC = 4 см, BC = 5 см, AB = 8 см; треугольник получится вытянутым, но существующим, потому что 4 + 5 > 8.

Теперь изменим третью длину: 4, 5 и 9 см. Сумма меньших сторон стала равна большей. Дуги не образуют полноценную третью вершину: точка касания лежит на прямой AB. Это не случай «плохо нарисовали», а математический запрет. Если вместо 9 взять 10 см, сумма станет меньше самой большой стороны и дуги совсем не пересекутся.

Не следует путать три условия: существование треугольника, его вид по сторонам и точность построения. Для сторон 5, 5, 8 имеем равнобедренный треугольник, так как две стороны равны и сумма 5 + 5 больше 8. Для сторон 6, 6, 6 фигура равносторонняя. А для 4, 4, 8 совпадение двух длин ещё не даёт треугольник, потому что сумма равна третьей длине.

Рабочая привычка: сначала запиши неравенство, потом возьми циркуль. Это экономит время на заведомо невозможных наборах. Во время проверки другой ученик может попытаться построить один набор с равенством; наблюдение за дугами помогает запомнить, почему знак строгий.

Схема принятия решения

Тренажёр для печати: 20 наборов длин

Отвечай «да» или «нет», рядом приведи сравнение двух меньших сторон с большей. Если ответ «да», назови тип по сторонам. Наборы 1, 4, 8 и 16 дополнительно построй циркулем в масштабе 1 см = 1 см. Место для чертежей оставь на обороте листа.

1. Стороны 4, 5, 6 см: можно ли построить треугольник циркулем и линейкой? Если можно, определи вид по сторонам.
2. Стороны 3, 4, 7 см: можно ли построить треугольник циркулем и линейкой? Если можно, определи вид по сторонам.
3. Стороны 2, 5, 8 см: можно ли построить треугольник циркулем и линейкой? Если можно, определи вид по сторонам.
4. Стороны 5, 5, 8 см: можно ли построить треугольник циркулем и линейкой? Если можно, определи вид по сторонам.
5. Стороны 6, 6, 6 см: можно ли построить треугольник циркулем и линейкой? Если можно, определи вид по сторонам.
6. Стороны 4, 7, 10 см: можно ли построить треугольник циркулем и линейкой? Если можно, определи вид по сторонам.
7. Стороны 2, 2, 5 см: можно ли построить треугольник циркулем и линейкой? Если можно, определи вид по сторонам.
8. Стороны 7, 8, 9 см: можно ли построить треугольник циркулем и линейкой? Если можно, определи вид по сторонам.
9. Стороны 3, 5, 7 см: можно ли построить треугольник циркулем и линейкой? Если можно, определи вид по сторонам.
10. Стороны 3, 6, 9 см: можно ли построить треугольник циркулем и линейкой? Если можно, определи вид по сторонам.
11. Стороны 4, 4, 7 см: можно ли построить треугольник циркулем и линейкой? Если можно, определи вид по сторонам.
12. Стороны 6, 9, 12 см: можно ли построить треугольник циркулем и линейкой? Если можно, определи вид по сторонам.
13. Стороны 1, 2, 2 см: можно ли построить треугольник циркулем и линейкой? Если можно, определи вид по сторонам.
14. Стороны 5, 8, 14 см: можно ли построить треугольник циркулем и линейкой? Если можно, определи вид по сторонам.
15. Стороны 7, 7, 15 см: можно ли построить треугольник циркулем и линейкой? Если можно, определи вид по сторонам.
16. Стороны 6, 10, 15 см: можно ли построить треугольник циркулем и линейкой? Если можно, определи вид по сторонам.
17. Стороны 4, 6, 10 см: можно ли построить треугольник циркулем и линейкой? Если можно, определи вид по сторонам.
18. Стороны 8, 10, 5 см: можно ли построить треугольник циркулем и линейкой? Если можно, определи вид по сторонам.
19. Стороны 3, 3, 6 см: можно ли построить треугольник циркулем и линейкой? Если можно, определи вид по сторонам.
20. Стороны 5, 9, 10 см: можно ли построить треугольник циркулем и линейкой? Если можно, определи вид по сторонам.

Самостоятельный контроль — полные ответы

1. Да: 4 + 5 = 9 > 6; разносторонний.
2. Нет: 3 + 4 = 7 ≤ 7, дуги не дают невырожденный треугольник.
3. Нет: 2 + 5 = 7 ≤ 8, дуги не дают невырожденный треугольник.
4. Да: 5 + 5 = 10 > 8; равнобедренный.
5. Да: 6 + 6 = 12 > 6; равносторонний.
6. Да: 4 + 7 = 11 > 10; разносторонний.
7. Нет: 2 + 2 = 4 ≤ 5, дуги не дают невырожденный треугольник.
8. Да: 7 + 8 = 15 > 9; разносторонний.
9. Да: 3 + 5 = 8 > 7; разносторонний.
10. Нет: 3 + 6 = 9 ≤ 9, дуги не дают невырожденный треугольник.
11. Да: 4 + 4 = 8 > 7; равнобедренный.
12. Да: 6 + 9 = 15 > 12; разносторонний.
13. Да: 1 + 2 = 3 > 2; равнобедренный.
14. Нет: 5 + 8 = 13 ≤ 14, дуги не дают невырожденный треугольник.
15. Нет: 7 + 7 = 14 ≤ 15, дуги не дают невырожденный треугольник.
16. Да: 6 + 10 = 16 > 15; разносторонний.
17. Нет: 4 + 6 = 10 ≤ 10, дуги не дают невырожденный треугольник.
18. Да: 5 + 8 = 13 > 10; разносторонний.
19. Нет: 3 + 3 = 6 ≤ 6, дуги не дают невырожденный треугольник.
20. Да: 5 + 9 = 14 > 10; разносторонний.

Почему пересечение дуг иногда пропадает

Рассмотри набор 3, 4, 7 см. Дуги радиусов 3 и 4 могут коснуться друг друга ровно на линии основы длиной 7 см, но третья вершина не образует угол и площадь такого «треугольника» равна нулю. По этой причине знак в неравенстве нужен >, а не ≥.

Оценивание: один балл за ответ «да/нет», один за верное неравенство и вид по сторонам (если построение возможно). Максимум 40 баллов. Для четырёх чертежей проверь линейкой длины всех трёх сторон. При несовпадении проверь, не перепутаны ли радиусы дуг и не сдвинулась ли игла циркуля. Условия не требуют вычисления углов; это задача на построение и существование фигуры.

Для работы на листе в клетку полезно заранее подготовить место для двух дуг. Сначала проведи выбранную основу, затем открывай циркуль на нужный радиус по линейке; не меняй раствор во время проведения дуги. После появления точки C соедини её с обоими концами основы, а проверку отложи до окончания построения.