Учимся решать: сложение многочленов с приведением подобных членов — задания для 7 класса

Уровень: 7 класс. Заданий: 28. Диагностика, карточки трёх уровней и разбор ответов. Сначала проверьте, различаете ли вы подобные члены, затем сложите многочлены, а в конце выполните задания с пропусками и проверкой подстановкой.

Перед стартом: почему объединяются только подобные члены

Подобные члены имеют одинаковую буквенную часть и одинаковые показатели степеней: 3x² и −5x² подобны, а x² и x — нет. При сложении многочленов раскрываем скобки без изменения знаков, затем группируем подобные члены. Например, (2x² + 3x − 1) + (x² − x + 4) = 3x² + 2x + 3.

Диагностика навыка: задания 1–5

1. Приведите подобные члены: 4x + 3x.
2. Упростите: 6a − 2a + a.
3. Упростите: 3x + 2y + x.
4. Упростите: 2x² + x².
5. Вычислите сумму постоянных членов: 7 − 3 + 2.

Карточка «Базовый уровень» — две скобки

Запишите один многочлен без скобок. Не теряйте знак перед отрицательным членом. Для самопроверки подставьте x = 0 или a = 0: постоянные члены исходной и упрощённой записи должны совпадать.

6. (2x + 3) + (5x − 1).
7. (4a − 2) + (a + 7).
8. (3y + 6) + (2y − 9).
9. (6m + n) + (2m − 3n).
10. (x² + 2x) + (3x² − x).
11. (5p − 4q) + (2q − p).
12. (7t − 5) + (t + 12).
13. (2ab + 3a) + (ab − 5a).
14. (8x² − 3) + (2x² + 9).

Карточка «Уверенный уровень» — разные степени и переменные

Помните, что xy и x² — разные буквенные части; 2xy и −xy подобны. Сначала найдите пары одинакового вида, потом сложите их коэффициенты, а свободные члены соберите отдельно.

15. (4u + 2v − 1) + (3u − v + 5).
16. (3a² − 2a + 1) + (a² + 5a − 4).
17. (2x² + 3xy − y²) + (x² − xy + 4y²).
18. (5r² − r + 7) + (−3r² + 4r − 2).
19. (−2k² + 6k − 1) + (7k² − k + 9).
20. (a² + ab + b²) + (2a² − 3ab + 4b²).
21. (x³ + 2x² − x) + (3x³ − x² + 5x).
22. (6mn − 2m + 3n) + (−mn + 4m − 7n).

Карточка «Математический редактор» — проверь, восстанови, докажи

В последних шести упражнениях нужно не только получить сумму, но иногда восстановить слагаемое или проверить ошибочную запись. Этот формат полезен перед контрольной: решение и проверка должны быть понятны другому человеку.

23. Найдите второй многочлен, если первый равен 2x² + 3x + 4, а сумма равна 5x² + x + 9.
24. Упростите (a² + 2a − 3) + (2a² − a + 8).
25. Сложите три многочлена: (4x − 3y + 2) + (−x + 5y − 7) + (2x − y + 4).
26. Сложите: (3z² + z − 6) + (−z² + 4z + 2) + (2z² − 5z + 1).
27. Сложите: (m² − 2mn + n²) + (2m² + mn − 3n²) + (−m² + 4mn + n²).
28. Упростите (x² + 3x) + (2x² − 3x). Объясните, почему член с x исчезает.

Разбор стратегии: как не ошибиться при 28 заданиях

Начните с диагностики. Если в первых пяти заданиях есть ошибка, полезно отработать упрощение одного многочлена до перехода к скобкам. В задании 3 буквы x и y нельзя объединять, потому что они обозначают разные переменные. В задании 4 показатель степени сохраняется: 2x² + x² = 3x², а не 3x⁴. При сложении коэффициентов степени не складывают.

Для базовой карточки удобно применять метод трёх строк. В первой строке перепишите выражение со скобками; во второй раскройте скобки; в третьей соберите коэффициенты при одинаковых буквенных частях. Например, (6m + n) + (2m − 3n) = 6m + n + 2m − 3n = (6m + 2m) + (n − 3n) = 8m − 2n. Не пропускайте вторую строку, если часто теряете отрицательные члены.

В многочлене удобно видеть не «длинную цепочку символов», а группы: все x², все x, все свободные числа. Например, (3a² − 2a + 1) + (a² + 5a − 4) содержит три группы: (3 + 1)a², (−2 + 5)a и 1 − 4. Получается 4a² + 3a − 3. Этот порядок одинаково работает для целых положительных и отрицательных коэффициентов.

После нескольких одночленных примеров переходите к двум переменным. Здесь распространённая ошибка — считать x² и xy подобными, потому что «в обоих выражениях две буквы или степень два». Подобие требует точного совпадения буквенной части. Поэтому в задании 17 накапливаются три независимых группы x², xy и y². Если заменить их одним членом, равенство перестанет выполняться при произвольных x и y.

Проверка знаков без полного решения

При сложении двух многочленов плюс перед второй скобкой не меняет знаки внутри неё. Сравните (x − 3) + (2x − 5) = 3x − 8 и (x − 3) − (2x − 5) = −x + 2. Второе выражение — уже вычитание, отдельный навык. В этой работе все основные карточки посвящены сложению; не переносите правило «сменить все знаки» из вычитания туда, где стоит плюс.

Удобная проверка для многочленов одной переменной — нулевая подстановка. Возьмём (5r² − r + 7) + (−3r² + 4r − 2). При r = 0 исходная сумма равна 7 − 2 = 5. Поэтому свободный член ответа обязан быть 5. Если получено 9 или −5, ошибка видна до проверки остальных коэффициентов. Но совпадение при нуле проверяет только свободные члены; оно не гарантирует правильность коэффициентов при r и r².

Вторая простая проверка — подстановка единицы. Для того же примера исходное выражение при r = 1 равно (5 − 1 + 7) + (−3 + 4 − 2) = 11 − 1 = 10. Ответ 2r² + 3r + 5 также даёт 2 + 3 + 5 = 10. При нескольких переменных вместо одной подстановки используйте пару значений, например x = 1 и y = 2.

Порядок решения повышенного уровня

В заданиях 20–22 переменных и степеней больше, но правило остаётся прежним. Чтобы упростить (x³ + 2x² − x) + (3x³ − x² + 5x), можно выписать три группы по убыванию степени: (1 + 3)x³, (2 − 1)x², (−1 + 5)x. В результате получается 4x³ + x² + 4x. Никакое умножение многочленов здесь не требуется.

В задании 23 специально отсутствует одно из слагаемых. Этот вопрос проверяет смысл сложения: неизвестный многочлен — то, что нужно добавить к первому, чтобы получить заданную сумму. Чтобы его найти, по каждому виду члена вычитают известный коэффициент из коэффициента суммы. Полученный многочлен нужно вернуть в исходное равенство; такая обратная проверка надёжнее простого сравнения с ключом.

В последних заданиях с тремя скобками полезно сделать временную таблицу коэффициентов. Так, при m², mn и n² в задании 27 стоят последовательности 1, 2, −1; −2, 1, 4; 1, −3, 1. По столбцам получаются соответственно 2, 3 и −1. Знак минус перед коэффициентом −1 в последнем столбце означает отрицательное количество n², а не отдельную новую переменную.

Самоконтроль работы: обведите одинаковые буквенные части одним условным обозначением, проверьте, что все исходные члены учтены ровно один раз, после чего выполните одну числовую подстановку. Если ответ состоит из очень большого числа членов, вероятно, что-то ещё можно объединить. Если пропала целая группа, проверьте, не был ли её коэффициент ошибочно приравнен к нулю.

Ключ для учителя и самостоятельной проверки

Ответы находятся после заданий. Для печати только ученической части выделите текст до разделительной линии и распечатайте выделенное.

В ответах 1–5 проверяется только объединение подобных членов. Для заданий 6–28 полезно дополнительно проверить равенство подстановкой пары небольших чисел.

1. 7x.
2. 5a.
3. 4x + 2y.
4. 3x².
5. 6.
6. 7x + 2.
7. 5a + 5.
8. 5y − 3.
9. 8m − 2n.
10. 4x² + x.
11. 4p − 2q.
12. 8t + 7.
13. 3ab − 2a.
14. 10x² + 6.
15. 7u + v + 4.
16. 4a² + 3a − 3.
17. 3x² + 2xy + 3y².
18. 2r² + 3r + 5.
19. 5k² + 5k + 8.
20. 3a² − 2ab + 5b².
21. 4x³ + x² + 4x.
22. 5mn + 2m − 4n.
23. 3x² − 2x + 5: вычтите первый многочлен из суммы.
24. 3a² + a + 5.
25. 5x + y − 1.
26. 4z² − 3: линейные члены взаимно уничтожаются, z + 4z − 5z = 0.
27. 2m² + 3mn − n².
28. 3x²: +3x и −3x дают ноль.

Разбор ключевых мест

Задание 17. Сложите отдельно x²: 2 + 1 = 3; отдельно xy: 3 − 1 = 2; отдельно y²: −1 + 4 = 3. Нельзя сложить x² и xy, даже если обе части имеют степень 2.

Задание 23. Неизвестное слагаемое находится обратным действием: (5x² + x + 9) − (2x² + 3x + 4) = 3x² − 2x + 5. Проверка сложением возвращает исходную сумму.

Задание 27. Коэффициенты при m²: 1 + 2 − 1 = 2; при mn: −2 + 1 + 4 = 3; при n²: 1 − 3 + 1 = −1. Перепроверьте все три группы.

Быстрая числовая проверка: подставьте x = 1 в ответ 6: 7·1 + 2 = 9. Исходная сумма (2 + 3) + (5 − 1) тоже равна 9. Совпадение одной подстановки не доказывает тождество, но помогает найти ошибку при счёте.

Ориентир оценивания: в заданиях 6–22 можно давать по одному баллу за верный ответ; в заданиях 23–28 — по два балла за ответ и обоснование. Учитель вправе выбрать нужные уровни, поскольку последовательность тем зависит от программы.