Учимся решать: умножение одночленов с натуральными показателями — задания для 7 класса

7 класс. Учимся умножать одночлены. Имя _____________________ Дата __________. Каждое задание можно решить устно по правилам или письменно через перестановку множителей. Сравни оба метода на примерах и выбери удобный.

Содержание статьи9 разделов

Как выбирать метод: два пути к одному ответу

Для произведения (2a²b) · (−3ab³) удобно отдельно умножить коэффициенты: 2 · (−3) = −6. Отдельно сложи показатели у одинаковых букв: a² · a = a³, b · b³ = b⁴. Ответ: −6a³b⁴. Это путь «коэффициенты — буквы — сборка».

Другой способ — сначала записать произведение отдельных множителей: 2 · a² · b · (−3) · a · b³, затем сгруппировать числа, степени a и степени b. Оба пути дают −6a³b⁴. Первый обычно короче, второй особенно полезен, когда кто-то в классе не понимает, откуда берётся сложение показателей.

Правила, которые проверяем на каждой ступени

  • Сначала умножай числовые коэффициенты с учётом знаков. Произведение двух отрицательных коэффициентов положительно.
  • Для каждого одинакового основания при умножении показатели складываются: a² · a³ = a⁵.
  • Буквы с разными именами не объединяются: a²b³ — это не a⁵ и не b⁵.
  • После вычисления ответ запиши в стандартном виде: сначала числовой коэффициент, затем степени переменных; если коэффициент равен 1 или −1, запись может быть сокращена.

Тренировка 1. Какой метод быстрее?

В заданиях 1–8 сначала поставь рядом букву К (работа с коэффициентами и показателями) или Г (группировка всех множителей). Оба способа допустимы; оценивай не выбор буквы, а полученный стандартный вид. Старайся избегать избыточных промежуточных вычислений.

  1. 2ab2 · 3a2b = __________________
  2. −4a2 · 2ab3 = __________________
  3. 5b3 · −2a2b = __________________
  4. 3a2b2 · 4a = __________________
  5. −2ab · −7b3 = __________________
  6. 6a3b · ab2 = __________________
  7. −3b2 · 5a4 = __________________
  8. 8a2 · −b4 = __________________

Тренировка 2. Сравни два возможных хода

При отрицательных множителях сначала реши вопрос со знаком. Например, «минус на минус» даёт «плюс», а «плюс на минус» — «минус». Если ответ ошибочный, проверь сначала числовой коэффициент, затем показатели. В заданиях 9–16 запиши хотя бы одну промежуточную строку.

  1. 7ab3 · 2b = __________________
  2. −6a4 · −2ab = __________________
  3. 4a2b · −3a2b2 = __________________
  4. −5ab4 · 3a3 = __________________
  5. 2b · −8a3b2 = __________________
  6. 9a2b2 · −2ab = __________________
  7. −a4b · −4b2 = __________________
  8. 5a3 · 5a2b = __________________

Контрольный блок. Восемь самостоятельных произведений

Ограничься одной строкой ответа, но после выполнения проверь подстановкой a = 1 и b = 1. При такой подстановке вся буквенная часть равна единице, поэтому исходное выражение и ответ должны дать один и тот же коэффициент. Для дополнительной проверки показателей можно взять a = 2, b = 1.

  1. 3b5 · −3a2 = __________________
  2. −7a2b2 · −2a2b2 = __________________
  3. 10a · −3a3b = __________________
  4. −2a2b3 · 6b2 = __________________
  5. 3ab · 2ab = __________________
  6. −4a3 · 5b3 = __________________
  7. 11a2b · −a2b2 = __________________
  8. −3ab3 · −3ab = __________________

Сравни решения

Почему при умножении (3ab) · (2ab) нельзя получить 6ab? Потому что множителей с буквой a — два, и множителей с буквой b — тоже два: результат 6a²b². Показатели не умножают при произведении двух одночленов; их складывают для одинаковых оснований. Путаница возникает из-за сходства со следующим правилом — возведением степени в степень, где показатели действительно умножаются.

Попробуй самостоятельно объяснить другому ученику, почему (−4a²) · (5b³) = −20a²b³, а не −20a⁵b⁵. Слагаемые показатели допустимо складывать лишь у одинаковых оснований. Если ты произносишь правило вслух, делай акцент на слове «одинаковых».

Как не смешивать два правила степеней

Когда множители записаны в разных скобках, например (2a²b) · (3a³b), мы складываем показатели одинаковых букв: у a получается 2 + 3, у b — 1 + 1. Но если одна и та же скобка возводится в степень, например (2a²b)³, внешний показатель умножается на внутренние показатели. Эта разница объясняет многие неверные ответы и помогает ученику выбрать действие по внешнему знаку операции.

Для самопроверки удобно сначала рассчитать коэффициент, а затем отдельно проверить по одной букве. Если правильно рассчитаны коэффициент и обе степени, итоговый стандартный вид не потребует дополнительной догадки. Переписывание всех множителей целиком особенно полезно при обнаружении своей ошибки: оно не позволяет незаметно потерять одно a или одно b.

Полный ключ: все 24 произведения

  1. 6a3b3. Коэффициент: 2 · 3 = 6; показатели a: 1 + 2 = 3, b: 2 + 1 = 3.
  2. −8a3b3. Коэффициент: -4 · 2 = -8; показатели a: 2 + 1 = 3, b: 0 + 3 = 3.
  3. −10a2b4. Коэффициент: 5 · -2 = -10; показатели a: 0 + 2 = 2, b: 3 + 1 = 4.
  4. 12a3b2. Коэффициент: 3 · 4 = 12; показатели a: 2 + 1 = 3, b: 2 + 0 = 2.
  5. 14ab4. Коэффициент: -2 · -7 = 14; показатели a: 1 + 0 = 1, b: 1 + 3 = 4.
  6. 6a4b3. Коэффициент: 6 · 1 = 6; показатели a: 3 + 1 = 4, b: 1 + 2 = 3.
  7. −15a4b2. Коэффициент: -3 · 5 = -15; показатели a: 0 + 4 = 4, b: 2 + 0 = 2.
  8. −8a2b4. Коэффициент: 8 · -1 = -8; показатели a: 2 + 0 = 2, b: 0 + 4 = 4.
  9. 14ab4. Коэффициент: 7 · 2 = 14; показатели a: 1 + 0 = 1, b: 3 + 1 = 4.
  10. 12a5b. Коэффициент: -6 · -2 = 12; показатели a: 4 + 1 = 5, b: 0 + 1 = 1.
  11. −12a4b3. Коэффициент: 4 · -3 = -12; показатели a: 2 + 2 = 4, b: 1 + 2 = 3.
  12. −15a4b4. Коэффициент: -5 · 3 = -15; показатели a: 1 + 3 = 4, b: 4 + 0 = 4.
  13. −16a3b3. Коэффициент: 2 · -8 = -16; показатели a: 0 + 3 = 3, b: 1 + 2 = 3.
  14. −18a3b3. Коэффициент: 9 · -2 = -18; показатели a: 2 + 1 = 3, b: 2 + 1 = 3.
  15. 4a4b3. Коэффициент: -1 · -4 = 4; показатели a: 4 + 0 = 4, b: 1 + 2 = 3.
  16. 25a5b. Коэффициент: 5 · 5 = 25; показатели a: 3 + 2 = 5, b: 0 + 1 = 1.
  17. −9a2b5. Коэффициент: 3 · -3 = -9; показатели a: 0 + 2 = 2, b: 5 + 0 = 5.
  18. 14a4b4. Коэффициент: -7 · -2 = 14; показатели a: 2 + 2 = 4, b: 2 + 2 = 4.
  19. −30a4b. Коэффициент: 10 · -3 = -30; показатели a: 1 + 3 = 4, b: 0 + 1 = 1.
  20. −12a2b5. Коэффициент: -2 · 6 = -12; показатели a: 2 + 0 = 2, b: 3 + 2 = 5.
  21. 6a2b2. Коэффициент: 3 · 2 = 6; показатели a: 1 + 1 = 2, b: 1 + 1 = 2.
  22. −20a3b3. Коэффициент: -4 · 5 = -20; показатели a: 3 + 0 = 3, b: 0 + 3 = 3.
  23. −11a4b3. Коэффициент: 11 · -1 = -11; показатели a: 2 + 2 = 4, b: 1 + 2 = 3.
  24. 9a2b4. Коэффициент: -3 · -3 = 9; показатели a: 1 + 1 = 2, b: 3 + 1 = 4.

Самопроверка двумя подстановками

Если a = b = 1, каждое произведение должно совпадать с произведением двух исходных числовых коэффициентов: это быстро обнаруживает ошибку знака. Если a = 2, b = 1, при корректном результате показатели a покажут ту же степень двойки с обеих сторон равенства. Подстановки помогают найти неверный ответ, но не заменяют объяснение правила.

Учителю: в заданиях 1–8 достаточно правильного стандартного вида; в заданиях 9–16 важно увидеть промежуточную запись; в заданиях 17–24 можно дать по одному баллу за правильный коэффициент и по одному за правильную буквенную часть. Так можно отличить арифметическую ошибку от ошибки в законах степеней.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым