Угол между боковым ребром пирамиды и основанием для 11 класса — упражнения с разбором

Прикладной кейс: проектируем пирамидальную конструкцию. Представим декоративные вершины крыш, макеты и каркасы в форме пирамид. Чтобы вычислить наклон бокового ребра к горизонтальному основанию, мало знать только высоту: важна длина проекции именно этого ребра на плоскость основания.

Модель: боковое ребро, высота и его проекция

Обозначим S — вершину пирамиды, A — выбранную вершину основания, H — основание перпендикуляра, опущенного из S на плоскость основания. Тогда SH — высота пирамиды, AH — ортогональная проекция бокового ребра SA, а ∠SAH=α — искомый угол при H≠A. В прямоугольном треугольнике SHA: tan α=SH/AH, sin α=SH/SA, SA²=SH²+AH². Все три длины должны измеряться в одинаковых единицах.

Исходные данные главного макета

Решение главного макета: tan α=(6√2)/(6√2)=1, значит α=45°. Боковое ребро SA=√((6√2)²+(6√2)²)=12 м. Проверка: sin45°=6√2/12=√2/2. Это геометрическая модель; она не служит техническим расчётом несущих конструкций.

Серия задач 1–5: определить угол по длинам

1. Правильная четырёхугольная пирамида: сторона квадратного основания 10 м, высота 5√2 м. Найдите угол бокового ребра с основанием.
2. Пирамида с прямоугольным основанием 6×8 м; вершина находится над центром прямоугольника на высоте 5√3 м. Найдите угол ребра из вершины в угол основания с его плоскостью.
3. Правильная квадратная пирамида: сторона 8 см, высота 4√6 см. Найдите искомый угол.
4. Для бокового ребра SA проекция имеет длину AH=9 см, высота SH=12 см. Найдите угол между SA и плоскостью основания с точностью до сотых градуса.
5. Длина бокового ребра SA=13 см, а высота SH=12 см. Найдите проекцию AH и угол наклона ребра к основанию.

Серия задач 6–10: восстановить длины или прочитать координаты

6. Угол наклона бокового ребра к основанию 30°, проекция AH=6√3 дм. Определите высоту SH.
7. Высота SH=7 м; угол наклона ребра SA к основанию 45°. Найдите проекцию AH и длину SA.
8. Правильная квадратная пирамида со стороной основания 6√2 см и высотой 6 см. Найдите угол бокового ребра с основанием.
9. У пирамиды прямоугольное основание 10×24 см, вершина над центром на высоте 13 см. Найдите угол между боковым ребром и основанием.
10. A(0;0;0), H(3;4;0), S(3;4;12), основание лежит в плоскости z=0. Определите угол между SA и плоскостью основания.

Серия задач 11–15: доказать, сравнить, учесть особый случай

11. Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания 12 м, высота 6 м. Найдите тангенс угла бокового ребра с основанием и приближённый угол.
12. Прямоугольное основание имеет стороны 8 и 6 м, вершина над его центром, высота SH=5/√3 м. Найдите угол бокового ребра с основанием.
13. У бокового ребра SA длина 10 см, высота SH=6 см. Вычислите его горизонтальную проекцию и угол между SA и основанием.
14. Проекция AH=9√3 см, а высота SH=9 см. Вычислите угол бокового ребра с основанием.
15. Вершина S лежит строго над вершиной A основания (SH=SA=4 м, H=A). Какой угол SA образует с плоскостью основания? Объясните, почему такой случай не противоречит определению пирамиды.

Решения к задачам 1–5

1. От центра квадрата до вершины AO=(10√2)/2=5√2 м. tan α=5√2/(5√2)=1; α=45°.
2. Расстояние от центра до вершины AH=√(3²+4²)=5 м. tan α=(5√3)/5=√3; α=60°.
3. AO=8√2/2=4√2 см. tan α=(4√6)/(4√2)=√3, значит α=60°.
4. tan α=12/9=4/3; α≈53,13°. Проверка: SA=√(9²+12²)=15 см, sin α=12/15=4/5.
5. AH=√(13²−12²)=√25=5 см; sin α=12/13, поэтому α≈67,38°.

Решения к задачам 6–10

6. SH=AH·tan30°=6√3·(1/√3)=6 дм. Угол 30° и все длины положительны.
7. AH=SH/tan45°=7 м. По Пифагору SA=√(7²+7²)=7√2 м.
8. AO=(6√2)√2/2=6 см; tan α=6/6=1 ⇒ 45°.
9. AH=√((10/2)²+(24/2)²)=√(25+144)=13 см. tan α=13/13=1 ⇒ 45°.
10. AH=√(3²+4²)=5, SH=12. tan α=12/5 ⇒ α≈67,38°. Точки A,H лежат в основании z=0.

Решения к задачам 11–15

11. AO=12√2/2=6√2 м. tan α=6/(6√2)=1/√2; α≈35,26°.
12. AH=√((8/2)²+(6/2)²)=√(16+9)=5 м. tan α=(5/√3)/5=1/√3 ⇒ α=30°.
13. AH=√(10²−6²)=8 см; tan α=6/8=3/4 ⇒ α≈36,87°.
14. tan α=9/(9√3)=1/√3 ⇒ α=30°.
15. Поскольку H=A, проекция SA на плоскость вырождается в точку: SA перпендикулярно основанию, поэтому угол 90°. Остальные вершины основания могут образовать невырожденный многоугольник, S не лежит в основании.

Как не спутать ребро и высоту

• SA — боковое ребро: наклонный отрезок от вершины пирамиды к вершине основания.
• SH — перпендикуляр к плоскости основания, то есть высота. Он не обязательно является боковым ребром.
• AH — проекция SA на основание. Для правильной квадратной пирамиды H — центр квадрата и AH=a√2/2.
• Для произвольной пирамиды H не обязан совпадать с центром. Подставлять половину диагонали основания можно только после обоснования положения H.

Проверка физических единиц и допустимости

Для невырожденной пирамиды высота SH>0, длина бокового ребра SA>0 и α находится между 0° и 90° включительно (угол 90° возможен, если A=H). При AH>0 и SH>0 угол строго между 0° и 90°. Если высота равна нулю, вершина лежит в основании и объём пирамиды равен нулю — такой случай не рассматриваем как пространственную пирамиду. Отношение SH/AH безразмерное, поэтому функция arctan возвращает угол независимо от выбранных единиц длины.

Критерий оценивания: 1 балл за схему с верной проекцией, 1 за математическое отношение, 1 за угол с единицами/проверкой. Всего 45 баллов за 15 задач. При вычислении углов, не равных 30°, 45° и 60°, допускается округление до сотых градуса.