Угол между двумя хордами внутри окружности — практикум с ответами для 9 класса
Содержание статьи11 разделов
Когда хорды встречаются внутри окружности
Пусть хорды AC и BD пересекаются в точке P внутри окружности. Для угла APB берут две дуги: AB и CD, перехватываемые этим углом и вертикальным ему углом. Их градусные меры складывают и делят пополам: ∠APB = (дуга AB + дуга CD)/2. Не путайте эту формулу с углом между двумя секущими из внешней точки, где берут разность дуг.
Пояснение: проведём хорду AD. Угол APB — внешний угол треугольника APD; он равен сумме двух вписанных углов, опирающихся на дуги AB и CD. Каждый вписанный угол равен половине своей дуги, что и даёт формулу. Угол, вертикальный APB, имеет ту же меру; каждый смежный угол дополняет его до 180°.
Два пограничных случая до начала работы
- Хорды перпендикулярны. Если сумма противоположных дуг равна 180°, угол равен 90°; длины хорд для этого вычисления не нужны.
- Дуги неодинаковы. Например, 48° и 112° дают угол (48 + 112)/2 = 80°. Ошибка — брать половину только одной дуги.
- Обозначения важны. Для угла APB нужны дуги AB и CD, если пересекаются именно AC и BD; при изменении букв соответствующие дуги меняются.
Зачем в формуле появляется сумма двух дуг
Для исходной пары хорд AC и BD угол APB между лучами PA и PB и противоположный ему угол CPD равны как вертикальные. Первый угол перехватывает дугу AB, второй — CD. Если сложить две подходящие величины вписанных углов из вспомогательных треугольников, получится именно полусумма этих дуг. Формула не использует ни радиус, ни длину хорд. Две окружности разных размеров при одинаковых дугах дадут одинаковый угол между хордами.
Удобно представлять дуги как доли полного оборота. Если сумма выбранных дуг равна 150°, угол равен 75°; оставшиеся дуги суммарно 210°, а смежный угол равен половине 210°, то есть 105°. Так дополнительный до 180° угол можно найти двумя путями. Это одна из проверок, которую полезно выполнять без калькулятора.
Уровень I — быстрый расчёт (1–10)
Для каждой задачи указаны меры дуг AB и CD в градусах. Найдите ∠APB. Запишите формулу перед подстановкой.
- Дуга AB = 40°, дуга CD = 80°. Чему равен угол между хордами?
- Дуга AB = 55°, дуга CD = 95°. Чему равен угол между хордами?
- Дуга AB = 90°, дуга CD = 70°. Чему равен угол между хордами?
- Дуга AB = 100°, дуга CD = 120°. Чему равен угол между хордами?
- Дуга AB = 30°, дуга CD = 130°. Чему равен угол между хордами?
- Дуга AB = 45°, дуга CD = 75°. Чему равен угол между хордами?
- Дуга AB = 120°, дуга CD = 100°. Чему равен угол между хордами?
- Дуга AB = 85°, дуга CD = 135°. Чему равен угол между хордами?
- Дуга AB = 65°, дуга CD = 55°. Чему равен угол между хордами?
- Дуга AB = 140°, дуга CD = 100°. Чему равен угол между хордами?
Уровень II — неизвестная дуга (11–16)
Даны угол APB и дуга AB. Найдите дугу CD и проверьте, что две выбранные дуги согласуются с углом. Модель: дуга CD = 2·∠APB − дуга AB.
- ∠APB = 55°, дуга AB = 48°. Найдите дугу CD.
- ∠APB = 70°, дуга AB = 60°. Найдите дугу CD.
- ∠APB = 85°, дуга AB = 75°. Найдите дугу CD.
- ∠APB = 100°, дуга AB = 105°. Найдите дугу CD.
- ∠APB = 115°, дуга AB = 90°. Найдите дугу CD.
- ∠APB = 68°, дуга AB = 52°. Найдите дугу CD.
Уровень III — вертикальные и смежные углы (17–22)
По тем же двум дугам найдите ∠APB, вертикальный к нему ∠CPD и смежный ∠BPC. В последнем столбце ответа проверьте сумму смежных углов.
- Дуга AB = 75°, дуга CD = 85°. Найдите все три названных угла.
- Дуга AB = 110°, дуга CD = 90°. Найдите все три названных угла.
- Дуга AB = 50°, дуга CD = 70°. Найдите все три названных угла.
- Дуга AB = 125°, дуга CD = 95°. Найдите все три названных угла.
- Дуга AB = 80°, дуга CD = 100°. Найдите все три названных угла.
- Дуга AB = 65°, дуга CD = 115°. Найдите все три названных угла.
Подробный ключ, сгруппированный по уровням
| Задание | Подстановка | Ответ |
|---|---|---|
| 1 | (40° + 80°)/2 | 60° |
| 2 | (55° + 95°)/2 | 75° |
| 3 | (90° + 70°)/2 | 80° |
| 4 | (100° + 120°)/2 | 110° |
| 5 | (30° + 130°)/2 | 80° |
| 6 | (45° + 75°)/2 | 60° |
| 7 | (120° + 100°)/2 | 110° |
| 8 | (85° + 135°)/2 | 110° |
| 9 | (65° + 55°)/2 | 60° |
| 10 | (140° + 100°)/2 | 120° |
| Задание | Восстановление дуги CD | Проверка |
|---|---|---|
| 11 | 2·55° − 48° = 62° | (48° + 62°)/2 = 55° |
| 12 | 2·70° − 60° = 80° | (60° + 80°)/2 = 70° |
| 13 | 2·85° − 75° = 95° | (75° + 95°)/2 = 85° |
| 14 | 2·100° − 105° = 95° | (105° + 95°)/2 = 100° |
| 15 | 2·115° − 90° = 140° | (90° + 140°)/2 = 115° |
| 16 | 2·68° − 52° = 84° | (52° + 84°)/2 = 68° |
| Задание | ∠APB = ∠CPD | ∠BPC | Контроль |
|---|---|---|---|
| 17 | 80° | 100° | 80° + 100° = 180° |
| 18 | 100° | 80° | 100° + 80° = 180° |
| 19 | 60° | 120° | 60° + 120° = 180° |
| 20 | 110° | 70° | 110° + 70° = 180° |
| 21 | 90° | 90° | 90° + 90° = 180° |
| 22 | 90° | 90° | 90° + 90° = 180° |
Почему задания трёх уровней проверяют разные действия
На первом уровне обе дуги известны: нужно аккуратно сложить числа и найти их половину. Второй уровень — обратная задача: в уравнении α = (a + b)/2 неизвестна дуга b, поэтому b = 2α − a. Проверить результат проще подстановкой, а не сверкой только последней цифры.
На третьем уровне вычисление не заканчивается одним углом. Вертикальный угол равен найденному, смежный равен 180° минус найденный. Например, если ∠APB = 80°, вертикальный равен 80°, а оба смежных равны 100°. Сумма всех четырёх углов при пересечении двух прямых равна 360°.
Не пытайтесь использовать формулу для внешней точки: когда лучи пересекаются за пределами окружности, две соответствующие дуги вычитаются. Слова «внутри окружности» в условии — существенная часть математической модели, а не декоративное уточнение.
Разбор двух сложных случаев
Задание 20: дуги 125° и 95° дают 220°, поэтому ∠APB = 110° — тупой угол. Смежный ∠BPC = 70°. Здесь ошибочно требовать, чтобы внутренний угол всегда был острым: хорды могут образовать и тупой угол.
Задание 21: дуги 80° и 100° дают 180°, поэтому пересекающиеся хорды образуют прямой угол 90°. Вертикальный угол также 90°, смежный — 90°. Равенство трёх углов в этом особом случае не нарушает теорему.
Самостоятельная проверка нескольких неочевидных ответов
Задание 4: сумма дуг 100° + 120° = 220°, угол 110°; он тупой, но это допустимо. Задание 11: при угле 55° и дуге 48° вторая дуга равна 110° − 48° = 62°. Задание 16: 2·68° − 52° = 84°; повторный расчёт угла (52° + 84°)/2 = 68° подтверждает ответ.
В задании 19 противоположные дуги 50° и 70° дают 60°; вертикальный угол 60°, смежный 120°. Это не три независимых измерения: два последних числа получаются из определения вертикальных и смежных углов. В задании 22 сумма 65° + 115° = 180°; все четыре образованных угла равны 90°. Для каждой пары дуг полезно проверять, что их сумма меньше 360°, иначе условие нужно перепроверить.
Три контрольных вопроса для учителя
- Что изменится, если точка пересечения хорд окажется снаружи окружности? Нужно применять другую теорему — о внешних секущих, с разностью дуг.
- Складывать ли две дуги, прилежащие к одной вершине? Нет: нужны дуги, перехваченные искомым углом и вертикальным к нему.
- Можно ли определить угол, зная только сумму выбранных дуг? Да; длины и радиус окружности не требуются.
Проверка единиц: дуги и углы измеряются в градусах. В ответах уровень I требует одно значение, уровень II — дугу в градусах, уровень III — три угла; проверка 180° обязательна.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.