Умножение десятичной дроби на 10 100 и 1000 — упражнения для печати, 5 класс

Полоска № 1. Мгновенный счёт (задания 1–12)

Не пользуйтесь калькулятором. Проговаривайте количество разрядов, на которое надо изменить положение запятой. В ответах не обязателен последний нуль дробной части: 47,0 можно записать как 47.

После первых четырёх строк сравните два примера, в которых множители равны 10. Объясните, почему у одного результата остаётся запятая, а у другого дробная часть может исчезнуть: всё зависит от исходного числа и количества значащих разрядов.

Полоска № 2. Дополните равенство (задания 13–22)

В равенствах пропущены разные элементы: исходная дробь, множитель 10/100/1000 или итоговое произведение. Определите, что неизвестно, прежде чем заполнять пропуск. Для восстановления исходной дроби или множителя используйте обратное деление.

1. □ × 10 = 12,5. Восстановите множимое: __________.
2. 0,49 × □ = 49. Восстановите множитель: __________.
3. 3,008 × 1000 = □. Заполните пропуск: __________.
4. □ × 10 = 27,5. Восстановите множимое: __________.
5. 0,073 × □ = 7,3. Восстановите множитель: __________.
6. 4,056 × 1000 = □. Заполните пропуск: __________.
7. □ × 100 = 8. Восстановите множимое: __________.
8. 9,99 × □ = 99,9. Восстановите множитель: __________.
9. 0,004 × 1000 = □. Заполните пропуск: __________.
10. □ × 100 = 625. Восстановите множимое: __________.

Проверка для этой серии выполняется обратным делением. Если после умножения 0,49 × 100 вы получили 49, то 49 : 100 возвращает 0,49. Если вы записали 4,9, обратная проверка даст 0,049 — другое число. Сравнение обнаруживает ошибку порядка величины.

Особое внимание записям 0,004 × 1000 и 6,25 × 100: последняя запись становится целым числом, хотя исходная содержала сотые. Это нормально — умножение на сто переводит сотые в единицы.

Полоска № 3. Итоговая самостоятельная работа (задания 23–30)

Фамилия и имя: ___________________________________. Время: __________. Решите восемь примеров без подсказок. После каждого проверьте себя прикидкой или делением результата на множитель. Номер считается верным, если получено точное значение, а не только примерный порядок величины.

1. 0,705 × 100 = _________________.
2. 23,48 × 10 = _________________.
3. 0,0036 × 1000 = _________________.
4. 17,025 × 100 = _________________.
5. 8,0004 × 1000 = _________________.
6. 0,0607 × 100 = _________________.
7. 91,007 × 10 = _________________.
8. 0,0009 × 1000 = _________________.

Если в черновике остаются конечные нули после запятой, их можно убрать: 70,50 = 70,5. Нельзя убирать нули между значащими цифрами: 0,705 и 0,75 — разные значения. Именно эта разница часто вызывает ошибки при быстром устном счёте.

Почему работает перемещение запятой

Любую десятичную дробь можно мыслить как целое количество долей. В числе 0,0805 содержится 805 десятитысячных; при умножении на 1000 получается 805 десятых, то есть 80,5. Смена разрядной единицы и выглядит как перемещение запятой. Такой смысл полезнее запоминания механической инструкции.

Проверка оценивает величину результата. Умножение на 10 не может сделать положительное число меньше. Если 0,36 × 100 получилось 0,036, запись противоречит смыслу умножения: результат должен быть в сто раз больше, а не в десять раз меньше. Для наглядности используйте денежные величины: 0,36 условной единицы × 100 = 36 единиц.

В заданиях с тремя или четырьмя десятичными знаками младшие разряды переходят в старшие по одному. Например, 0,0009 × 1000 = 0,9: исходных девять десятитысячных превращаются в девять десятых, но ещё не в девять единиц. Именно поэтому нельзя отбрасывать ведущие нули после запятой.

Для учащихся, которым сложен переход через нулевые разряды, полезен следующий приём: на черновике нарисовать пустые позиции разрядов — единицы, десятые, сотые, тысячные — и двигать каждую цифру на три позиции влево по таблице разрядов. Это помогает проверить себя без вычислений и внешних инструментов.

Учитель может распечатать каждую «полоску» отдельно: первая годится для устного старта, вторая — для парной проверки, третья — для индивидуальной самостоятельной работы. При групповом разборе задайте вопрос, почему умножение на 1000 иногда даёт всё ещё дробный результат: это происходит, когда исходное положительное число меньше 0,001.

Критерии самостоятельной проверки

• В полоске № 1 оценивайте сначала понимание количества сдвигов, потом вычисление; ошибка записи одного нуля не равна ошибке в самом правиле.
• В полоске № 2 возвращайте ответ в исходное число делением на 10, 100 или 1000.
• В полоске № 3 каждый из восьми номеров можно оценить одним баллом. Для тренировочной работы 7–8 верных ответов — уверенный уровень, 5–6 — есть отдельные пробелы, 0–4 — требуется повторение.
• Если результат содержит неправильное количество разрядов, просите ученика записать объяснение словами: «стало в сто раз больше».

Итоговая работа не содержит математических действий с отрицательными числами или десятичными множителями: проверяется ровно одна выбранная тема. При желании задания 23–30 подходят для домашней самостоятельной тренировки.

Справочник по нестандартным записям — без новых правил

Меньше единицы, но после умножения число целое

Рассмотрите 0,49 × 100. Сорок девять сотых превращаются в сорок девять единиц. Ответ 49 не является ошибкой только потому, что запятая исчезла: исходная дробная часть после увеличения в сто раз перестаёт быть дробной. Аналогично 0,004 × 1000 = 4. Если в результатах появляется 0,4 или 0,04, значит, ученик сдвинул запятую на недостаточное число разрядов.

Нуль между значащими цифрами

В примере 3,008 × 1000 число состоит из трёх целых и восьми тысячных. Тысячекратное увеличение даёт 3008. Запись 38 неверна: она удаляет сотни и десятки из результата. Для тренировки полезно вписать цифры 3, 0, 0, 8 в отдельные клетки таблицы разрядов и указать их новые позиции. В примере 6,0007 × 1000 нули между шестёркой и семёркой тоже нельзя выбросить, иначе значение изменится.

Сдвиг меньше количества цифр после запятой

У 0,0805 четыре цифры после запятой. После умножения на 1000 цифра 5 из десятитысячных переходит в десятые, поэтому ответ 80,5 остаётся десятичной дробью. Это опровергает неверное правило «умножение на 1000 всегда делает дробь целым числом». Результат зависит от того, насколько мелкие разряды присутствуют в исходной записи.

Когда полезна обратная проверка

Если неизвестно, сколько нулей добавлять в 0,0009 × 1000, вычислите предполагаемый результат и поделите его на 1000. Правильный ответ 0,9 возвращает 0,0009. Ответ 9 вернёт 0,009 — другое число. Такая проверка одновременно контролирует место запятой и неизменность значащих цифр.

Разбор частых затруднений в третьей полоске

В № 23 число 0,705 × 100 превращается в 70,5. Если ребёнок пишет 705, это означает увеличение в тысячу раз, а не в сто. Чтобы увидеть различие, сначала умножьте на 10: 0,705 × 10 = 7,05; затем ещё раз на 10: 7,05 × 10 = 70,5. Два последовательных шага помогают отделить умножение на 100 от умножения на 1000.

В № 25 дробь 0,0036 имеет две значащие цифры после нескольких нулевых разрядов. Умножение на тысячу даёт 3,6, потому что 36 десятитысячных превращаются в 36 десятых. Если ученику трудно поверить ответу, продемонстрируйте его на противоположном действии: 3,6 : 1000 = 0,0036.

В № 27 умножение 8,0004 × 1000 даёт 8000,4. Промежуточные нули не исчезают: исходное число немного больше восьми, поэтому увеличенное в тысячу раз должно быть немного больше восьми тысяч. Число 8,4 или 84 мгновенно отвергается прикидкой. Такая оценка полезнее просьбы «пересчитать внимательнее».

В № 28 запись 0,0607 × 100 равна 6,07. При умножении на сто первоначальные сотые становятся единицами, а десятитысячные — сотыми. Если в решении появилась запись 60,7, ребёнок сделал сдвиг на три позиции. Попросите его подписать множитель и посчитать число нулей в 100; это помогает связать множитель и количество шагов.

В № 29 число 91,007 × 10 равно 910,07. Нули внутри дробной части выполняют роль разрядных мест; запись 910,7 была бы в десять раз больше дробной добавки. Здесь полезно разбить исходное число на 91 и 0,007 и отдельно умножить обе части на десять: 910 + 0,07.

В № 30 положительная дробь 0,0009 после умножения на тысячу остаётся меньше единицы: 0,9. Это не исключение из правила, а его прямое следствие. Девять десятитысячных составляют меньше одной тысячной; после тысячекратного увеличения получаются девять десятых. Так можно контролировать ошибку без столбика.

Проверка понимания, а не скорости

После того как ученик заполнил три серии, предложите устно сравнить пары 0,125 × 100 и 0,125 × 1000. Оба произведения правильны по одному правилу, но второе в десять раз больше первого. Попросите объяснить это свойство множителей, а не просто показать положение запятой. Такое сравнение показывает, понимает ли ученик связь между операциями.

Также полезно обсудить разницу между 6,0007 × 1000 и 6,007 × 1000: первая дробь чуть больше шести, вторая тоже чуть больше шести, но их тысячекратные значения отличаются на 6,3. Различия в нулевых разрядах могут давать заметную разницу в результате. Из-за этого аккуратная перепись исходного числа — часть математического решения, а не формальность.

Если класс работает в разном темпе, задайте полоску № 1 всему классу, вторую — тем, кому нужны разрядные переходы, а третью — тем, кто готов к самостоятельному контролю. Не требуйте решать всё за одну минуту: скорость вторична по отношению к пониманию того, как меняется величина. При расхождении ответов ученикам стоит показывать оба способа проверки — по разрядной таблице и обратным действием.

Самостоятельный разбор трёх восстановленных равенств

В № 13 число скрыто слева: какое число после умножения на 10 даёт 12,5? Чтобы узнать его, выполняют обратную операцию 12,5 : 10 = 1,25. Так подчёркивается отличие восстановления множимого от обычного умножения. Ученик может сразу проверить ответ: 1,25 × 10 = 12,5. Урок становится полезнее, если объяснить, почему перенос запятой здесь направлен влево.

В № 14 пропущен множитель, и известно 0,49 × □ = 49. Это число увеличилось ровно в сто раз: 49 : 0,49 = 100. Можно обойтись без деления на десятичную дробь, если умножать 0,49 на 10, а затем на 100 и сравнить ответы: 4,9 и 49. Выбираем 100. Такой подбор опирается только на изучаемый навык.

В № 21 неизвестное число умножили на 1000 и получили 4. Исходная дробь равна 0,004. Проверка обратным действием возвращает тот же ответ: 4 : 1000 = 0,004. Если записать 0,04, произведение окажется 40, а не 4. Расхождение показывает, что потеряна одна позиция разряда.

Эти три разбора иллюстрируют разные виды пропусков и помогают учителю определить, понимает ли ученик, как умножение связано с обратной операцией. Их можно проговорить после самостоятельной попытки, не показывая весь ключ к остальным заданиям.