Упрощение выражения при заданном равенстве переменных — тренажёр по математике, 7 класс

Здесь требуется упростить выражение при данном равенстве между переменными, а не просто подставить случайные числа. Например, x=y не означает, что оба числа равны 1; они могут принимать любое одинаковое значение. Поэтому ответ часто остаётся буквенным. Иногда условие фиксирует сумму или разность — тогда получается конкретное число.

Три разобранных примера: от подстановки к группировке

Пример 1. Равные переменные

Условие x=y. Упростим 3x+2y−(x+y). Сначала раскроем скобки: 3x+2y−x−y=2x+y. Теперь y=x, значит 3x. Проверка при x=y=2: исходное выражение 6+4−4=6, итог 3×2=6.

Пример 2. Одна переменная кратна другой

Пусть a=2b. Тогда 4a−3b+2a=6a−3b=6×2b−3b=9b. Это не число: b в условии не указано. При b=−1 получаем −9, что подтверждает знаки.

Пример 3. Известна только сумма

Если u+v=7, то 3u+3v−5=3(u+v)−5=3×7−5=16. Нельзя находить u и v по отдельности: одна сумма не определяет каждое слагаемое. Выбирайте преобразование, в котором указанное условие можно использовать целиком.

Задачи с направляющими подсказками

1. x=y. Упростите 5x−2y. Подсказка: Замените y на x.
2. a=3b. Упростите 2a+b−4b. Подсказка: Сначала соберите подобные по b.
3. p+q=12. Найдите 4p+4q−7. Подсказка: Вынесите 4.
4. m=n. Упростите (m+2n)−(3m−n). Подсказка: Снимите вторые скобки со сменой знаков.
5. 2c=d. Упростите 7c−3d. Подсказка: Подставьте d=2c.
6. a+b=9. Найдите 2(a+b)+5. Подсказка: Сумму не нужно делить на два.
7. t=s−4. Найдите 3t−3s. Подсказка: Вынесите общий коэффициент.
8. x=−y. Упростите x²−y². Подсказка: Равны ли квадраты противоположных чисел?
9. 3p=2q. Упростите 6p−2q. Подсказка: Замените 6p на 4q.
10. v−u=8. Найдите 5v−5u+1. Подсказка: Вынесите 5.
11. 2x+y=11. Найдите 4x+2y−3. Подсказка: Рассмотрите первые два слагаемых как двойную сумму.
12. a=−2b. Упростите a²−4b². Подсказка: Возведите обе части условия в квадрат.
13. p=q+5. Упростите 2p−2q+q. Подсказка: Найдите сначала p−q.
14. 4r=3s. Упростите 8r−9s. Подсказка: Выразите 8r через s.
15. x+y=−3. Найдите (x+y)²−2(x+y). Подсказка: Везде используйте одну и ту же известную сумму.
16. a=b+1. Упростите a²−b². Подсказка: Используйте разность квадратов или замену a.
17. u+v=5. Найдите (u+v)(u+v−2). Подсказка: Пусть известная сумма равна S.

Пошаговый ключ: что на что заменять

1. Ответ. 5x−2x=3x.
2. Ответ. 2×3b−3b=3b.
3. Ответ. 4(p+q)−7=48−7=41.
4. Ответ. m+2n−3m+n=−2m+3n=m.
5. Ответ. 7c−6c=c.
6. Ответ. 2×9+5=23.
7. Ответ. 3(t−s)=3×(−4)=−12.
8. Ответ. (−y)²−y²=y²−y²=0.
9. Ответ. 6p−2q=4q−2q=2q (либо 3p).
10. Ответ. 5(v−u)+1=40+1=41.
11. Ответ. 2(2x+y)−3=22−3=19.
12. Ответ. a²=(−2b)²=4b², разность равна 0.
13. Ответ. 2(p−q)+q=2×5+q=10+q.
14. Ответ. 8r=6s, значит 8r−9s=−3s.
15. Ответ. (−3)²−2(−3)=9+6=15.
16. Ответ. (a−b)(a+b)=1×((b+1)+b)=2b+1.
17. Ответ. 5×(5−2)=15.

Когда условия недостаточно для численного ответа

Обратите внимание на задания 1, 2, 4, 5, 9, 13, 14 и 16: там после упрощения может остаться буква. Нельзя дописывать ей придуманное значение. Запись 2q в задании 9 и запись 3p — эквивалентные ответы именно при условии 3p=2q. Задание 13 даёт 10+q, хотя при другом допустимом q результат численно изменится.

Проверять себя полезно двумя способами. Сначала подставьте условие символически и приведите подобные члены. Затем, если ответ буквенный, выберите две разные пары чисел, удовлетворяющие ограничению: например, при x=y подходят (2; 2) и (−4; −4). Значения исходного и упрощённого выражения обязаны совпасть в обеих парах, но численные примеры не заменяют общего вывода.

Типичные ошибки: считать a=3b равенством a=3+b; раскрывать знак минус перед скобкой, не меняя знаков; делить равенство на переменную, которая может быть нулём. Во всех упражнениях этой карточки выражения многочленные: область определения — все действительные значения переменных, удовлетворяющие указанному условию. Не требуется деление на переменную, поэтому запрещённых значений из-за знаменателя здесь нет.

Таблица выбора приёма: что именно дано

Нередко задача кажется трудной только потому, что переменные стоят в другом порядке. Так, при u−v=3 выражение 2v−2u нужно переписать как −2(u−v), после чего получить −6. Если сравнивать отдельные u и v, задача будто бы неразрешима. Главное — увидеть указанную в условии целую комбинацию букв. Для равенства a=b+1 комбинация a−b равна единице, поэтому часто быстрее использовать формулу разности квадратов, чем возводить сумму b+1 в квадрат.

Как записывать обоснование в тетради

Полное решение должно содержать исходное условие, математический переход и окончательный ответ. Например, «дано 4r=3s; 8r−9s=2·4r−9s=2·3s−9s=−3s». Указание равенства 4r=3s делает замену проверяемой. Если ответ остался буквенным, так и пишите: «при всех значениях, удовлетворяющих условию». Это не недоработка: часто именно буквенное упрощение и является целью.

Особое внимание знакам: из t=s−4 следует t−s=−4, а не +4. Из x=−y следует x²=y², но вовсе не x=y. Из p+q=12 нельзя сделать вывод p²+q²=144: квадрат суммы содержит ещё 2pq. Последняя путаница не встречается напрямую среди заданий, но позволяет обнаружить неверный метод ещё до вычисления. Если вы всё-таки делите полученное равенство на буквенную переменную, предварительно докажите, что она не равна нулю; в этом листе такого деления не требуется.

Итог для учителя: 1 балл за корректное использование заданного равенства и 1 за полученное упрощение, всего 34 балла. Для заданий с числовым ответом проверьте конкретное значение; для буквенных — сохранение равенства для всех пар, удовлетворяющих условию. Дополнительный критерий — ребёнок может устно объяснить, почему две переменные нельзя без основания приравнять к выбранным числам.