Уравнение окружности со смещённым центром для 9 класса — упражнения с решениями

Окружность не обязательно имеет центр в начале координат. Если её центр C(a; b), радиус r > 0, то уравнение принимает вид (x − a)² + (y − b)² = r². В этой короткой диагностике нужно научиться уверенно записывать знаки у скобок, извлекать центр из готового уравнения и проверять точки подстановкой. Не раскрывайте скобки без необходимости: это усложняет проверку.

Выбираем метод, а не угадываем знак

Допустим, центр C(2; −3), радиус 4. От точки P(x; y) до центра по горизонтали расстояние задаёт разность x − 2, по вертикали — y − (−3) = y + 3. По теореме Пифагора получаем (x − 2)² + (y + 3)² = 16. Чтобы проверить знаки, подставьте координаты центра: обе скобки должны стать нулём.

Метод 1. Составь уравнение по центру и радиусу

Не вычисляйте расстояния до случайных точек — радиус уже известен. Просто составьте два квадрата разностей и запишите r². Если координата центра отрицательная, в скобках появится плюс. Напротив каждого результата проверьте подстановку x = a, y = b: левая часть обязана стать равной нулю.

1. Центр C(2, −3), радиус 4. Уравнение: __________________.
2. Центр C(−4, 1), радиус 2. Уравнение: __________________.
3. Центр C(0, 5), радиус 6. Уравнение: __________________.
4. Центр C(3, 3), радиус 5. Уравнение: __________________.
5. Центр C(−2, −6), радиус 3. Уравнение: __________________.

Метод 2. Прочитай уравнение наоборот

Определите центр и радиус, не раскрывая скобок. Радиус — положительный корень из правой части; координата центра равна числу, которое обращает соответствующую скобку в нуль. Например, скобка (x + 4) обнуляется при x = −4, а не при x = 4.

6. (x − 3)² + (y + 2)² = 25. Центр ______, радиус ______.
7. (x + 4)² + (y − 1)² = 9. Центр ______, радиус ______.
8. (x − 1)² + y² = 49. Центр ______, радиус ______.
9. x² + (y + 6)² = 16. Центр ______, радиус ______.

Метод 3. Действительно ли точка лежит на окружности?

Подставьте координаты точки P в левую часть. Если результат равен r², точка лежит на окружности; если меньше — внутри, если больше — снаружи. Не путайте центр окружности и проверяемую точку: их координаты играют разные роли.

10. Центр C(1, 2), радиус 5, точка P(4, 6). Принадлежит ли окружности? Объясните численно.
11. Центр C(−3, 4), радиус 2, точка P(−1, 4). Принадлежит ли окружности? Объясните численно.
12. Центр C(2, −1), радиус 3, точка P(2, 0). Принадлежит ли окружности? Объясните численно.

Выбор метода: две ошибки в готовом ответе

Укажите, какая именно часть записи нарушена: знак внутри скобки или квадрат радиуса. Затем напишите корректное уравнение. Не требуется составлять новую задачу — важно исправить имеющуюся и объяснить, как проверка центром помогает сразу заметить ошибку.

13. Центр C(−2, 3), r = 4. Ученик написал «(x − 2)² + (y − 3)² = 16». Исправьте и объясните: ______.
14. Центр C(4, −5), r = 2. Ученик написал «(x − 4)² + (y + 5)² = 2». Исправьте и объясните: ______.

Ключ с короткими решениями

1. (x − 2)² + (y + 3)² = 16. Обе разности координат по центру равны нулю.
2. (x + 4)² + (y − 1)² = 4. Обе разности координат по центру равны нулю.
3. x² + (y − 5)² = 36. Обе разности координат по центру равны нулю.
4. (x − 3)² + (y − 3)² = 25. Обе разности координат по центру равны нулю.
5. (x + 2)² + (y + 6)² = 9. Обе разности координат по центру равны нулю.
6. C(3, −2), r = 5. При подстановке центра обе скобки обнуляются.
7. C(−4, 1), r = 3. При подстановке центра обе скобки обнуляются.
8. C(1, 0), r = 7. При подстановке центра обе скобки обнуляются.
9. C(0, −6), r = 4. При подстановке центра обе скобки обнуляются.
10. (3)² + (4)² = 25; r²=25; точка на окружности.
11. (2)² + (0)² = 4; r²=4; точка на окружности.
12. (0)² + (1)² = 1; r²=9; точка внутри.
13. (x + 2)² + (y − 3)² = 16. У центра должны обнуляться обе скобки, а справа стоит квадрат радиуса.
14. (x − 4)² + (y + 5)² = 4. У центра должны обнуляться обе скобки, а справа стоит квадрат радиуса.

Самопроверка для ученика: если центр уравнения (2; −3), то точка (2; −3) обнуляет левую часть, а точка (6; −3) лежит на окружности радиуса 4. Это две быстрые проверки, которые не требуют раскрывать скобки. В случае нулевой координаты центра соответствующая часть формулы записывается просто x² или y².

Учителю: при неверном знаке попросите ученика подставить координаты центра в свою формулу и сравнить результат с нулём. При неверной правой части предложите отдельно вычислить квадрат радиуса. Эти разные проверки быстрее показывают источник ошибки, чем многократное решение однотипных примеров.