Уравнение с модулем без действительных решений — карточки с ответами, 8 класс

Фамилия ______________________ Класс ______ Дата ___________

Цель: научиться доказывать отсутствие действительных корней до раскрытия модуля. Здесь проверяется не скорость вычисления, а умение заметить невозможное условие.

Памятка для распечатки

|A| ≥ 0 при любом действительном A. Поэтому |A| = −2 не имеет решений. Кроме того, |x − a| + |x − b| ≥ |a − b|: сумма расстояний от точки до двух фиксированных точек не меньше расстояния между ними. Запись «нет решений» следует сопровождать указанием причины.

Вариант I — базовый

Для каждого равенства объясни, почему не существует действительного x, который ему удовлетворяет. После каждого номера оставлено место для аргумента.

1. |x − 1| = −3

   Причина: ____________________________________________________

2. |2x + 5| + 4 = 2

   Причина: ____________________________________________________

3. 3|x + 2| = −6

   Причина: ____________________________________________________

4. |x| + |x − 4| = −1

   Причина: ____________________________________________________

5. |x + 7|/3 = −1

   Причина: ____________________________________________________

6. 2|x − 5| + 3 = 0

   Причина: ____________________________________________________

7. |x − 4| + 1 = −2

   Причина: ____________________________________________________

8. |x − 1| + |x − 9| = 4

   Причина: ____________________________________________________

Вариант II — повышенный

Здесь встречаются выражения, в которых невозможность обнаруживается после переноса числа или оценки суммы расстояний.

1. |x + 4| = −0,4

   Причина: ____________________________________________________

2. |3x + 2| − 5 = −7

   Причина: ____________________________________________________

3. |x − 2| + |x + 2| = −3

   Причина: ____________________________________________________

4. (1/2)|x − 6| = −1

   Причина: ____________________________________________________

5. |x − 5| + 3 = 2

   Причина: ____________________________________________________

6. |2x + 4| + 2 = 1

   Причина: ____________________________________________________

7. |x| + |x − 10| = 5

   Причина: ____________________________________________________

8. |x + 1| + |x − 2| = 2

   Причина: ____________________________________________________

Критерии оценивания

За каждое задание — 2 балла: 1 балл за верный вывод «нет действительных решений», 1 балл за правильное объяснение нижней границы левой части или отрицательной правой части. Максимум — 16 баллов за один вариант. 14–16 — отлично; 11–13 — хорошо; 8–10 — нужно повторить свойства модуля; меньше 8 — сначала разберите памятку.

Ключ и подробная логика

Ответы к варианту I

1. Решений нет. Модуль не бывает равен −3.
2. Решений нет. Левая часть не меньше 4, правая равна 2.
3. Решений нет. Трижды неотрицательное число не бывает отрицательным.
4. Решений нет. Сумма двух модулей неотрицательна.
5. Решений нет. Деление неотрицательного модуля на 3 сохраняет неотрицательность.
6. Решений нет. Левая часть не меньше 3.
7. Решений нет. Левая часть не меньше 1.
8. Решений нет. Сумма расстояний до 1 и 9 не меньше 8.

Ответы к варианту II

1. Решений нет. Правая часть отрицательна.
2. Решений нет. Перенос −5 даёт |3x + 2| = −2, что невозможно.
3. Решений нет. Сумма модулей не может быть отрицательной.
4. Решений нет. Половина модуля неотрицательна.
5. Решений нет. Левая часть не меньше 3.
6. Решений нет. Левая часть не меньше 2.
7. Решений нет. Сумма расстояний до 0 и 10 не меньше 10.
8. Решений нет. Расстояние между −1 и 2 равно 3, значит сумма не меньше 3.

Почему не стоит раскрывать модуль автоматически

Например, |x − 1| + |x − 9| = 4 невозможно, потому что отрезок от 1 до 9 имеет длину 8. Любая точка x, расположенная между ними, даёт сумму расстояний ровно 8, а снаружи сумма становится ещё больше. Значит, никакое раскрытие скобок не даст допустимого решения.

В этой проверочной все 16 уравнений специально не имеют корней. Это самостоятельный навык распознавания невозможных условий, а не поиск двух корней из предыдущей темы.

Две полезные оценки до вычислений

Для каждого действительного x выполняется неравенство |x − a| ≥ 0. Если к модулю прибавлено положительное число d, то |x − a| + d ≥ d. Поэтому запись |x − 5| + 3 = 2 исключается сразу: минимум левой части равен 3. Иногда полезно не искать этот минимум точно, а лишь показать, что он больше правой части.

В заданиях с двумя модулями используют оценку |x − a| + |x − b| ≥ |a − b|. Она следует из геометрического смысла модуля: прямой путь между a и b не длиннее пути через произвольную третью точку x. В отличие от равенства |x − a| = −3, в таких примерах справа может стоять положительное число, но решений всё равно нет. Например, сумма расстояний до −1 и 2 не может равняться 2, поскольку расстояние между опорными точками равно 3.

Не путайте: «невозможно из-за отрицательного модуля» и «невозможно из-за недостаточной суммы расстояний» — это разные доказательства. Если ученик объясняет оба типа одной фразой, предложите сравнить минимум левой части с правой.