Уравнение с модулем по определению расстояния: самостоятельная работа по математике, 8 класс

Самостоятельная работа. Здесь модуль рассматривается прежде всего как расстояние на координатной прямой. В решениях важно не просто вычислить корни, а объяснить их расположение.

Три разобранных примера

Пример 1: |x − 5| = 2. Число x удалено от 5 на две единицы. На прямой находятся две точки: 5 − 2 = 3 и 5 + 2 = 7. Ответ: 3, 7.

Пример 2: |x + 4| = 0. Это расстояние до −4. Нулевое расстояние имеет только сама точка −4. Значит, x = −4 и второго корня нет.

Пример 3: |x − 1| = −3. Отрицательного расстояния не существует. Ни одного действительного решения.

Как выполнить каждое задание

1. Найди центр a в записи |x − a| = r.
2. Определи расстояние r и проверь условие r ≥ 0.
3. Если r > 0, отметь две точки a − r и a + r; если r = 0 — одну; если r < 0 — ни одной.
4. При необходимости преобразуй выражение: |2x − 8| = 2|x − 4|.

Задачи с подсказками

1. |x − 6| = 4 Подсказка: запишите центр и расстояние
2. |x + 3| = 5 Подсказка: запишите центр и расстояние
3. |x − 1/2| = 3/2 Подсказка: запишите центр и расстояние
4. |x − 2| = 0 Подсказка: запишите центр и расстояние
5. |x + 7| = 0 Подсказка: запишите центр и расстояние
6. |x − 3| = −2 Подсказка: запишите центр и расстояние
7. |x + 1| = 2,5 Подсказка: запишите центр и расстояние
8. Точка x равноудалена от −4 и 6. Запишите уравнение и решите. Подсказка: нарисуйте отрезок или найдите середину
9. Найдите точки на расстоянии 3 от −8. Подсказка: нарисуйте отрезок или найдите середину
10. |x − 0,6| = 2,4 Подсказка: нарисуйте отрезок или найдите середину
11. Расстояние между числом x и числом 9 равно 12. Подсказка: нарисуйте отрезок или найдите середину
12. У уравнения |x − a| = r корни −1 и 11. Найдите a и r. Подсказка: нарисуйте отрезок или найдите середину
13. При каком r у |x − 8| = r ровно один действительный корень? Подсказка: нарисуйте отрезок или найдите середину
14. Составьте уравнение с центром −1, расстоянием 5 и запишите решения. Подсказка: нарисуйте отрезок или найдите середину
15. |2x − 8| = 6 Подсказка: нарисуйте отрезок или найдите середину
16. |x + 2| = |x − 4| Подсказка: нарисуйте отрезок или найдите середину

Ответы с объяснениями

1. x = 2 или 10 — От точки 6 отложим по 4 единицы влево и вправо.
2. x = −8 или 2 — Центр равен −3; прибавляем и вычитаем 5.
3. x = −1 или 2 — 1/2 ± 3/2 даёт −1 и 2.
4. x = 2 — Расстояние нуль только в самой точке 2.
5. x = −7 — Точка совпадает с центром −7.
6. нет решений — Расстояние на прямой не отрицательно.
7. x = −3,5 или 1,5 — От центра −1 откладываем 2,5 в обе стороны.
8. |x + 4| = |x − 6|; x = 1 — Равноудалённая точка — середина отрезка [−4; 6].
9. x = −11 или −5 — −8 − 3 = −11; −8 + 3 = −5.
10. x = −1,8 или 3 — 0,6 ± 2,4 даёт −1,8 и 3.
11. x = −3 или 21 — |x − 9| = 12, откуда 9 ± 12.
12. a = 5, r = 6 — Центр — середина корней (−1+11)/2 = 5, радиус — половина расстояния 12/2 = 6.
13. r = 0 — При нулевом расстоянии корень один; при положительном два; при отрицательном нет.
14. |x + 1| = 5; x = −6 или 4 — −1 ± 5.
15. x = 1 или 7 — 2|x − 4| = 6, значит расстояние до 4 равно 3.
16. x = 1 — Середина между −2 и 4 равна 1.

Самопроверка на координатной прямой

Для ответа из двух корней середина этих корней должна совпадать с центром a, а половина расстояния между корнями — с r. Например, для x = −8 и x = 2 середина (−8 + 2)/2 = −3, расстояние от −3 до каждого корня равно 5. Для 12-го задания применяй это свойство в обратную сторону.

Задание для учителя: попросите ученика объяснить различие между одним, двумя и отсутствием корней, не прибегая к раскрытию модуля по случаям. Такое объяснение показывает понимание смысла расстояния.

Как объяснить ответ без вычислительного шаблона

Представьте, что вы стоите в точке −3. При условии расстояния 5 можно пройти пять единичных отрезков вправо, оказавшись в точке 2, или пять влево, оказавшись в точке −8. Поэтому уравнение |x + 3| = 5 имеет именно два решения. Запись x + 3 внутри модуля не означает, что центр равен 3: центр находится там, где выражение под модулем обращается в нуль, то есть x = −3.

Для двух заданных корней одного расстояния полезен обратный ход. Если точки находятся в −1 и 11, центр обязательно совпадает с их серединой: 5. Расстояние от центра до любой из этих двух точек равно 6. Искомое уравнение |x − 5| = 6. Условия «два заданных корня» недостаточно для произвольной функции, но для уравнения расстояния с положительным радиусом центр и радиус определены однозначно.

Граничная задача. Если r = 0, точка только одна; если r отрицательно, таких точек нет. Поэтому число решений зависит от радиуса, а не от того, положителен или отрицателен сам центр.