Уравнение сферы с заданным центром и радиусом: самостоятельная работа по математике, 11 класс

Самостоятельная работа — два независимых варианта. Сфера — множество точек пространства, находящихся на расстоянии r от заданного центра C(a;b;c). Уравнение сферы задаёт поверхность, а не весь шар.

Рабочая формула и смысл знаков

(x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=r², где r>0. Если центр имеет координату −3, в скобке стоит x+3; если координата равна 0 — просто x². Например, при C(−2;1;0), r=3 уравнение (x+2)²+(y−1)²+z²=9. Число 9 означает r², а не r.

Вариант 1 — 8 заданий для печати

На каждое задание отведите три строки: координаты центра, вычисление r², окончательное уравнение. Сфера должна быть невырожденной, поэтому радиус положителен.

1. Центр C(2;-1;3), радиус r=4. Запишите уравнение поверхности сферы; перед записью проверьте r>0.
2. Центр C(-3;0;1), радиус r=5. Запишите уравнение поверхности сферы; перед записью проверьте r>0.
3. Центр C(0;2;-4), радиус r=3. Запишите уравнение поверхности сферы; перед записью проверьте r>0.
4. Центр C(1;1;1), радиус r=2. Запишите уравнение поверхности сферы; перед записью проверьте r>0.
5. Центр C(-2;5;0), радиус r=1. Запишите уравнение поверхности сферы; перед записью проверьте r>0.
6. Центр C(4;-3;-2), радиус r=6. Запишите уравнение поверхности сферы; перед записью проверьте r>0.
7. Центр C(0;0;0), радиус r=√(7). Запишите уравнение поверхности сферы; перед записью проверьте r>0.
8. Центр C(5;2;-1), радиус r=1/2. Запишите уравнение поверхности сферы; перед записью проверьте r>0.

Поле для записи решений: ______________________________________________________________

Вариант 2 — 8 заданий для печати

В этом варианте есть отрицательные координаты и иррациональные значения радиуса. Уравнение записывайте без неопределённых параметров.

9. Центр C(-1;-2;4), радиус r=√(10). Запишите уравнение поверхности сферы; перед записью проверьте r>0.
10. Центр C(3;0;0), радиус r=7. Запишите уравнение поверхности сферы; перед записью проверьте r>0.
11. Центр C(0;-4;-2), радиус r=2. Запишите уравнение поверхности сферы; перед записью проверьте r>0.
12. Центр C(-5;1;2), радиус r=√(5). Запишите уравнение поверхности сферы; перед записью проверьте r>0.
13. Центр C(2;3;-3), радиус r=1/2. Запишите уравнение поверхности сферы; перед записью проверьте r>0.
14. Центр C(1;-6;1), радиус r=3. Запишите уравнение поверхности сферы; перед записью проверьте r>0.
15. Центр C(-4;-1;0), радиус r=√(3). Запишите уравнение поверхности сферы; перед записью проверьте r>0.
16. Центр C(0;5;5), радиус r=4. Запишите уравнение поверхности сферы; перед записью проверьте r>0.

Поле для записи решений: ______________________________________________________________

Ключ к варианту 1

1. Сдвиг координат относительно центра: (x−2)²+(y+1)²+(z−3)²=16. Правая часть — квадрат радиуса (4)²=16.
2. Сдвиг координат относительно центра: (x+3)²+y²+(z−1)²=25. Правая часть — квадрат радиуса (5)²=25.
3. Сдвиг координат относительно центра: x²+(y−2)²+(z+4)²=9. Правая часть — квадрат радиуса (3)²=9.
4. Сдвиг координат относительно центра: (x−1)²+(y−1)²+(z−1)²=4. Правая часть — квадрат радиуса (2)²=4.
5. Сдвиг координат относительно центра: (x+2)²+(y−5)²+z²=1. Правая часть — квадрат радиуса (1)²=1.
6. Сдвиг координат относительно центра: (x−4)²+(y+3)²+(z+2)²=36. Правая часть — квадрат радиуса (6)²=36.
7. Сдвиг координат относительно центра: x²+y²+z²=7. Правая часть — квадрат радиуса (sqrt(7))²=7.
8. Сдвиг координат относительно центра: (x−5)²+(y−2)²+(z+1)²=1/4. Правая часть — квадрат радиуса (1/2)²=1/4.

Ключ к варианту 2

9. Сдвиг координат относительно центра: (x+1)²+(y+2)²+(z−4)²=10. Правая часть — квадрат радиуса (sqrt(10))²=10.
10. Сдвиг координат относительно центра: (x−3)²+y²+z²=49. Правая часть — квадрат радиуса (7)²=49.
11. Сдвиг координат относительно центра: x²+(y+4)²+(z+2)²=4. Правая часть — квадрат радиуса (2)²=4.
12. Сдвиг координат относительно центра: (x+5)²+(y−1)²+(z−2)²=5. Правая часть — квадрат радиуса (sqrt(5))²=5.
13. Сдвиг координат относительно центра: (x−2)²+(y−3)²+(z+3)²=1/4. Правая часть — квадрат радиуса (1/2)²=1/4.
14. Сдвиг координат относительно центра: (x−1)²+(y+6)²+(z−1)²=9. Правая часть — квадрат радиуса (3)²=9.
15. Сдвиг координат относительно центра: (x+4)²+(y+1)²+z²=3. Правая часть — квадрат радиуса (sqrt(3))²=3.
16. Сдвиг координат относительно центра: x²+(y−5)²+(z−5)²=16. Правая часть — квадрат радиуса (4)²=16.

Критерии оценки

Максимум за вариант — 24 балла. Если записано верное уравнение с r², но перепутано направление знака одной координаты, нельзя считать центр сохранённым. Восстановите центр из скобок и проверьте, что при подстановке x=a, y=b, z=c левая часть равна 0, а расстояние от центра до поверхности равно r.

Проверка типов объектов. Неравенство «сумма квадратов ≤ r²» задаёт шар, а знак равенства — сферу. Радиус не бывает отрицательным; запись r=√m допустима для m>0. Параметры и координаты измеряются в одной единице длины.