Уравнения на совместную работу — карточки по математике для 7 класса

Карточки по уравнениям на совместную работу для 7 класса. В задачах предполагается, что производительности постоянны и оба исполнителя работают одновременно над одним общим заданием. Весь объём работы обозначаем единицей. Чтобы работа не выглядела простой тренировкой деления, сначала найдите ошибку в рассуждении, затем выполните маршрут с контрольными точками и только после этого чистовую карточку.

Разобранная ловушка: часы нельзя складывать

Одна команда выполняет заказ за 6 ч, другая — за 3 ч. Ошибочный вывод: «вместе потребуется 6 + 3 = 9 ч». За 1 ч команды выполняют соответственно 1/6 и 1/3 заказа. Вместе за час — 1/2 заказа, поэтому время x задаётся уравнением x(1/6 + 1/3) = 1; значит x = 2 ч. Совместное время меньше времени самой быстрой команды, если обе работают с положительной производительностью.

Промежуточный контроль: записывайте не «часов за час», а долю работы за один час. Формула для двух исполнителей: x/a + x/b = 1, где a и b — время каждого по отдельности; сокращать единицы времени можно лишь после составления уравнения.

Исправь рассуждение — четыре ловушки

Впишите, какая величина используется неверно, затем запишите корректное уравнение. Пояснение обязательно: одно число без модели не считается решением.

1. № 1. Первый мастер выполняет работу за 6 ч, второй — за 3 ч. Ученик сложили 6 и 3, получили 9 часов. Исправьте решение и найдите совместное время.
2. № 2. Первый мастер выполняет работу за 4 ч, второй — за 12 ч. Ученик взяли среднее 8 часов. Исправьте решение и найдите совместное время.
3. № 3. Первый мастер выполняет работу за 8 ч, второй — за 24 ч. Ученик вычли 24 − 8, получили 16 часов. Исправьте решение и найдите совместное время.
4. № 4. Первый мастер выполняет работу за 10 ч, второй — за 15 ч. Ученик решили, что вдвоём нужно 10 часов. Исправьте решение и найдите совместное время.

Контрольные точки — восемь новых задач

Разделяйте модель и вычисления: сначала напишите доли работы за один час, затем одну строку уравнения. Если время получилось больше времени любого отдельного работника, исправьте ошибку.

1. № 5. Два принтера печатают один тираж: первый исполнитель справится в одиночку за 4 ч, второй — за 12 ч. За какое время они выполнят весь объём вместе?
2. № 6. Две бригады красят один забор: первый исполнитель справится в одиночку за 9 ч, второй — за 18 ч. За какое время они выполнят весь объём вместе?
3. № 7. Два насоса наполняют один резервуар: первый исполнитель справится в одиночку за 6 ч, второй — за 6 ч. За какое время они выполнят весь объём вместе?
4. № 8. Два садовника пропалывают общий участок: первый исполнитель справится в одиночку за 8 ч, второй — за 8 ч. За какое время они выполнят весь объём вместе?
5. № 9. Две команды собирают один набор деталей: первый исполнитель справится в одиночку за 12 ч, второй — за 6 ч. За какое время они выполнят весь объём вместе?
6. № 10. Два копировальных аппарата готовят материалы: первый исполнитель справится в одиночку за 5 ч, второй — за 20 ч. За какое время они выполнят весь объём вместе?
7. № 11. Два мастера ремонтируют один механизм: первый исполнитель справится в одиночку за 14 ч, второй — за 14 ч. За какое время они выполнят весь объём вместе?
8. № 12. Два редактора проверяют общий сборник: первый исполнитель справится в одиночку за 18 ч, второй — за 9 ч. За какое время они выполнят весь объём вместе?

Критерий перехода к итоговой работе: не менее шести из восьми контрольных точек решены без ошибок в модели, а в остальных правильно обозначена доля работы за час. Уравнение вида x = a + b здесь не подходит; продолжайте только после объяснения этого ограничения.

Чистовая карточка — десять заданий

Теперь встречается обратная задача: известно время совместной работы и время одного участника. Найдите, сколько времени потребовалось бы второму в одиночку. Если второй работает медленнее первого, ответ должен быть больше его времени.

1. № 13. Одна машина справляется с заказом за 6 ч. Работая вместе с другой машиной, они выполняют заказ за 3 ч. За сколько часов вторая машина выполнила бы его одна? Составьте уравнение с x.
2. № 14. Одна машина справляется с заказом за 12 ч. Работая вместе с другой машиной, они выполняют заказ за 4 ч. За сколько часов вторая машина выполнила бы его одна? Составьте уравнение с x.
3. № 15. Одна машина справляется с заказом за 3 ч. Работая вместе с другой машиной, они выполняют заказ за 2 ч. За сколько часов вторая машина выполнила бы его одна? Составьте уравнение с x.
4. № 16. Одна машина справляется с заказом за 10 ч. Работая вместе с другой машиной, они выполняют заказ за 5 ч. За сколько часов вторая машина выполнила бы его одна? Составьте уравнение с x.
5. № 17. Одна машина справляется с заказом за 15 ч. Работая вместе с другой машиной, они выполняют заказ за 6 ч. За сколько часов вторая машина выполнила бы его одна? Составьте уравнение с x.
6. № 18. Одна машина справляется с заказом за 8 ч. Работая вместе с другой машиной, они выполняют заказ за 4 ч. За сколько часов вторая машина выполнила бы его одна? Составьте уравнение с x.
7. № 19. Два исполнителя способны выполнить весь заказ по отдельности за 8 и 24 ч. Сколько часов потребуется им вместе? Запишите и решите одно уравнение.
8. № 20. Два исполнителя способны выполнить весь заказ по отдельности за 12 и 4 ч. Сколько часов потребуется им вместе? Запишите и решите одно уравнение.
9. № 21. Два исполнителя способны выполнить весь заказ по отдельности за 16 и 16 ч. Сколько часов потребуется им вместе? Запишите и решите одно уравнение.
10. № 22. Два исполнителя способны выполнить весь заказ по отдельности за 10 и 15 ч. Сколько часов потребуется им вместе? Запишите и решите одно уравнение.

Полный ключ и рекомендации к проверке

1. № 1. Производительности 1/6 и 1/3. x/6+x/3=1, x=2 ч. Ошибка — путаница времени с производительностью. Проверка: 1/3 + 2/3=1 заказа.
2. № 2. Производительности 1/4 и 1/12. x/4+x/12=1, x=3 ч. Ошибка — путаница времени с производительностью. Проверка: 3/4 + 1/4=1 заказа.
3. № 3. Производительности 1/8 и 1/24. x/8+x/24=1, x=6 ч. Ошибка — путаница времени с производительностью. Проверка: 3/4 + 1/4=1 заказа.
4. № 4. Производительности 1/10 и 1/15. x/10+x/15=1, x=6 ч. Ошибка — путаница времени с производительностью. Проверка: 3/5 + 2/5=1 заказа.
5. № 5. x/4+x/12=1, x=3 ч; за час доля работы 1/3. Проверка: x·1/3=1.
6. № 6. x/9+x/18=1, x=6 ч; за час доля работы 1/6. Проверка: x·1/6=1.
7. № 7. x/6+x/6=1, x=3 ч; за час доля работы 1/3. Проверка: x·1/3=1.
8. № 8. x/8+x/8=1, x=4 ч; за час доля работы 1/4. Проверка: x·1/4=1.
9. № 9. x/12+x/6=1, x=4 ч; за час доля работы 1/4. Проверка: x·1/4=1.
10. № 10. x/5+x/20=1, x=4 ч; за час доля работы 1/4. Проверка: x·1/4=1.
11. № 11. x/14+x/14=1, x=7 ч; за час доля работы 1/7. Проверка: x·1/7=1.
12. № 12. x/18+x/9=1, x=6 ч; за час доля работы 1/6. Проверка: x·1/6=1.
13. № 13. 3/6+3/x=1, поэтому 3/x=1/2 и x=6 ч. Проверка: 1/2+1/2=1.
14. № 14. 4/12+4/x=1, поэтому 4/x=2/3 и x=6 ч. Проверка: 1/3+2/3=1.
15. № 15. 2/3+2/x=1, поэтому 2/x=1/3 и x=6 ч. Проверка: 2/3+1/3=1.
16. № 16. 5/10+5/x=1, поэтому 5/x=1/2 и x=10 ч. Проверка: 1/2+1/2=1.
17. № 17. 6/15+6/x=1, поэтому 6/x=3/5 и x=10 ч. Проверка: 2/5+3/5=1.
18. № 18. 4/8+4/x=1, поэтому 4/x=1/2 и x=8 ч. Проверка: 1/2+1/2=1.
19. № 19. x/8+x/24=1; x=6 ч. Контроль: совместное время меньше 8 ч.
20. № 20. x/12+x/4=1; x=3 ч. Контроль: совместное время меньше 4 ч.
21. № 21. x/16+x/16=1; x=8 ч. Контроль: совместное время меньше 16 ч.
22. № 22. x/10+x/15=1; x=6 ч. Контроль: совместное время меньше 10 ч.

За каждое задание начислите 1 балл за корректную производительность, 1 балл за уравнение, 1 балл за решение и проверку здравого смысла. Для обратных задач особенно важно, что искомое время не равно разности времён; здесь нужно вычитать доли работы за час.

Короткий устный вывод: складываются не часы, а скорости выполнения работы. Если первая команда делает 1/6 заказа за час, а вторая 1/3, то вместе они делают 1/2 заказа за час. Покажите эту модель на бумажной полоске, разделённой на шесть частей: она часто помогает увидеть ошибку даже без калькулятора.

Два способа выполнить обратную проверку

Способ первый: после получения x найдите, какую долю заказа за найденное время выполнил каждый участник. Доли должны дать ровно 1. Способ второй: представьте, что один работник временно отсутствует. Тогда оставшийся в одиночку должен тратить больше времени, а не меньше. Это полезная проверка перед тем, как подставлять дроби в уравнение.

Учителю: для сильных учеников попросите объяснить, почему при равной производительности двух команд совместное время составляет половину индивидуального. Для тех, кому трудно, предложите раскрасить прямоугольник-«заказ» и отметить в нём долю, которую выполняет каждый за час. Так видно, что сумма долей действительно равна одной целой работе.