Уравнения с косинусом двойного угла — тренажёр по математике, 10 класс

Исследовательский практикум, 10 класс. Мы ищем корни уравнения cos(2x)=c, а не вычисляем значение косинуса по готовому углу. В отличие от простейшего cos x=c, замена угла u=2x меняет период решения относительно x.

Наблюдение и гипотеза

Посмотрите на последнюю колонку. Гипотеза: при замене угла x на 2x все расстояния между повторяющимися решениями по x уменьшаются вдвое. Нужно ли делить на два только главное значение угла? Нет: у каждого семейства сначала записывается 2x = ± arccos(c)+2πn, а затем делится на два всё равенство.

Проверка гипотезы на двух примерах

Если cos(2x)=1/2, то 2x=±π/3+2πn, поэтому x=±π/6+πn. Проверка: при x=π/6 получаем cos(π/3)=1/2. При x=π/6+π аргумент увеличивается на 2π, поэтому косинус сохраняется.

Если cos(2x)=−√3/2, то 2x=±5π/6+2πn и x=±5π/12+πn. Ветки с «+» и «−» обычно различны. Для c=1 ветви совпадают, что не создаёт новых корней.

Общий вывод: правило и границы

При |c|≤1 всё множество корней задаёт x=±(arccos c)/2 + πn, n∈ℤ. При |c|>1 действительных решений нет. Косинус определён для всех вещественных x: ОДЗ не накладывает дополнительных ограничений. Обозначение ± означает два семейства, а не одновременный выбор двух знаков в одном корне.

Самостоятельные упражнения: от табличных углов к общему случаю

1. Решите cos(2x) = 1. Запишите все корни в радианах и проверьте существование: __________________.
2. Решите cos(2x) = −1. Запишите все корни в радианах и проверьте существование: __________________.
3. Решите cos(2x) = 0. Запишите все корни в радианах и проверьте существование: __________________.
4. Решите cos(2x) = 1/2. Запишите все корни в радианах и проверьте существование: __________________.
5. Решите cos(2x) = −1/2. Запишите все корни в радианах и проверьте существование: __________________.
6. Решите cos(2x) = √2/2. Запишите все корни в радианах и проверьте существование: __________________.
7. Решите cos(2x) = −√2/2. Запишите все корни в радианах и проверьте существование: __________________.
8. Решите cos(2x) = √3/2. Запишите все корни в радианах и проверьте существование: __________________.
9. Решите cos(2x) = −√3/2. Запишите все корни в радианах и проверьте существование: __________________.
10. Решите cos(2x) = 2. Запишите все корни в радианах и проверьте существование: __________________.
11. Решите cos(2x) = −3/2. Запишите все корни в радианах и проверьте существование: __________________.
12. Решите cos(2x) = 1/4. Запишите все корни в радианах и проверьте существование: __________________.
13. Решите cos(2x) = −1/4. Запишите все корни в радианах и проверьте существование: __________________.
14. Решите cos(2x) = 3/5. Запишите все корни в радианах и проверьте существование: __________________.
15. Решите cos(2x) = −4/5. Запишите все корни в радианах и проверьте существование: __________________.
16. Решите cos(2x) = 3/4. Запишите все корни в радианах и проверьте существование: __________________.

Полный ключ — по одному обоснованию на каждое упражнение

1. cos(2x) = 1. x = πn. Если cos(2x)=1, то 2x=2πn. В тех случаях, где решений нет, условие |c|≤1 нарушено.
2. cos(2x) = −1. x = π/2 + πn. Если cos(2x)=−1, то 2x=π+2πn. В тех случаях, где решений нет, условие |c|≤1 нарушено.
3. cos(2x) = 0. x = π/4 + πn/2. Нули косинуса 2x=π/2+πn; эта запись компактнее двух семейств. В тех случаях, где решений нет, условие |c|≤1 нарушено.
4. cos(2x) = 1/2. x = ±π/6 + πn. arccos(1/2)=π/3. В тех случаях, где решений нет, условие |c|≤1 нарушено.
5. cos(2x) = −1/2. x = ±π/3 + πn. arccos(−1/2)=2π/3. В тех случаях, где решений нет, условие |c|≤1 нарушено.
6. cos(2x) = √2/2. x = ±π/8 + πn. arccos(√2/2)=π/4. В тех случаях, где решений нет, условие |c|≤1 нарушено.
7. cos(2x) = −√2/2. x = ±3π/8 + πn. arccos(−√2/2)=3π/4. В тех случаях, где решений нет, условие |c|≤1 нарушено.
8. cos(2x) = √3/2. x = ±π/12 + πn. arccos(√3/2)=π/6. В тех случаях, где решений нет, условие |c|≤1 нарушено.
9. cos(2x) = −√3/2. x = ±5π/12 + πn. arccos(−√3/2)=5π/6. В тех случаях, где решений нет, условие |c|≤1 нарушено.
10. cos(2x) = 2. решений нет. Косинус любого действительного угла лежит между −1 и 1. В тех случаях, где решений нет, условие |c|≤1 нарушено.
11. cos(2x) = −3/2. решений нет. −3/2 < −1, поэтому нет действительных корней. В тех случаях, где решений нет, условие |c|≤1 нарушено.
12. cos(2x) = 1/4. x = ±(arccos(1/4))/2 + πn. Это точный ответ: табличного угла нет. В тех случаях, где решений нет, условие |c|≤1 нарушено.
13. cos(2x) = −1/4. x = ±(arccos(−1/4))/2 + πn. Главное значение arccos берём в [0;π]. В тех случаях, где решений нет, условие |c|≤1 нарушено.
14. cos(2x) = 3/5. x = ±(arccos(3/5))/2 + πn. Делим на два весь угол, но не число πn. В тех случаях, где решений нет, условие |c|≤1 нарушено.
15. cos(2x) = −4/5. x = ±(arccos(−4/5))/2 + πn. Оба знака обеспечивают все ветви. В тех случаях, где решений нет, условие |c|≤1 нарушено.
16. cos(2x) = 3/4. x = ±(arccos(3/4))/2 + πn. Сохраните точный вид без округления. В тех случаях, где решений нет, условие |c|≤1 нарушено.

Как проверить себя без вычислителя

• Убедитесь, что справа число в пределах от −1 до 1: иначе список корней должен быть пуст.
• Для табличного значения найдите arccos(c) — угол от 0 до π, а затем разделите пополам.
• В ответе общий период повторения по x равен π, потому что функция cos(2x) имеет период π.
• Для неизвестного табличного угла допустимо оставить arccos(c); десятичный ответ без уточнения приближённый.

За каждое задание: 1 балл за проверку диапазона, 1 за главное значение arccos и 1 за две ветви/период. Для случаев ±1 и 0 равносильные компактные семейства допустимы. Математическая проверка: подстановка x=±arccos(c)/2+πn даёт cos(±arccos(c)+2πn)=c.