Уравнения с синусом двойного угла — карточки с ответами, 10 класс

Тематический тренажёр, 10 класс. Все примеры — исключительно уравнения sin(2x)=c. Два семейства корней и аккуратное деление угла — обязательные части решения; ответ с одним «табличным» корнем без периодов считается неполным.

Короткая памятка перед тремя сериями

Если |c|≤1, обозначьте α=arcsin(c), где −π/2≤α≤π/2. Тогда 2x=α+2πn или 2x=π−α+2πn, следовательно, x=α/2+πn или x=(π−α)/2+πn, n∈ℤ. Если |c|>1, действительных решений нет. Дополнительной ОДЗ нет: sin(2x) существует при всех x.

Образец: sin(2x)=1/2 означает 2x=π/6+2πn или 2x=5π/6+2πn. Поэтому x=π/12+πn либо x=5π/12+πn. Подставьте x=5π/12: sin(5π/6)=1/2, второй корень действительно подходит.

Серия I — точные табличные значения

1. Решите sin(2x) = 0. Укажите все семейства корней.
2. Решите sin(2x) = 1. Укажите все семейства корней.
3. Решите sin(2x) = −1. Укажите все семейства корней.
4. Решите sin(2x) = 1/2. Укажите все семейства корней.
5. Решите sin(2x) = −1/2. Укажите все семейства корней.
6. Решите sin(2x) = √2/2. Укажите все семейства корней.
7. Решите sin(2x) = −√2/2. Укажите все семейства корней.
8. Решите sin(2x) = √3/2. Укажите все семейства корней.
9. Решите sin(2x) = −√3/2. Укажите все семейства корней.

Серия II — нетабличные значения с arcsin

10. Решите sin(2x) = 1/3. Не округляйте угол; используйте arcsin.
11. Решите sin(2x) = −1/3. Не округляйте угол; используйте arcsin.
12. Решите sin(2x) = 1/4. Не округляйте угол; используйте arcsin.
13. Решите sin(2x) = −1/4. Не округляйте угол; используйте arcsin.
14. Решите sin(2x) = 3/4. Не округляйте угол; используйте arcsin.
15. Решите sin(2x) = −3/4. Не округляйте угол; используйте arcsin.
16. Решите sin(2x) = 4/5. Не округляйте угол; используйте arcsin.
17. Решите sin(2x) = −4/5. Не округляйте угол; используйте arcsin.
18. Решите sin(2x) = 2/3. Не округляйте угол; используйте arcsin.
19. Решите sin(2x) = −2/3. Не округляйте угол; используйте arcsin.

Серия III — проверка допустимости

20. Решите sin(2x) = 5/4. Сначала оцените диапазон функции.
21. Решите sin(2x) = −6/5. Сначала оцените диапазон функции.

Ответы — 21 решение с объяснениями

1. sin(2x) = 0: x = πn/2. В общем правиле обе ветви объединяются в x=πn/2.
2. sin(2x) = 1: x = π/4 + πn. Ветви совпадают, поскольку 2x=π/2+2πn.
3. sin(2x) = −1: x = −π/4 + πn. Ветви совпадают с точностью до π.
4. sin(2x) = 1/2: x = π/12 + πn или x = 5π/12 + πn. arcsin(1/2)=π/6.
5. sin(2x) = −1/2: x = −π/12 + πn или x = 7π/12 + πn. arcsin(−1/2)=−π/6.
6. sin(2x) = √2/2: x = π/8 + πn или x = 3π/8 + πn. arcsin(√2/2)=π/4.
7. sin(2x) = −√2/2: x = −π/8 + πn или x = 5π/8 + πn. arcsin(−√2/2)=−π/4.
8. sin(2x) = √3/2: x = π/6 + πn или x = π/3 + πn. arcsin(√3/2)=π/3.
9. sin(2x) = −√3/2: x = −π/6 + πn или x = 2π/3 + πn. arcsin(−√3/2)=−π/3.
10. sin(2x) = 1/3: x = arcsin(1/3)/2 + πn или x = (π−arcsin(1/3))/2 + πn. Точное обратное тригонометрическое значение оставляем символом.
11. sin(2x) = −1/3: x = −arcsin(1/3)/2 + πn или x = (π+arcsin(1/3))/2 + πn. Используйте нечётность arcsin.
12. sin(2x) = 1/4: x = arcsin(1/4)/2 + πn или x = (π−arcsin(1/4))/2 + πn. Сохраните обе ветви.
13. sin(2x) = −1/4: x = −arcsin(1/4)/2 + πn или x = (π+arcsin(1/4))/2 + πn. Вторая ветвь важна и при отрицательном c.
14. sin(2x) = 3/4: x = arcsin(3/4)/2 + πn или x = (π−arcsin(3/4))/2 + πn. Число 3/4 находится в допустимом диапазоне.
15. sin(2x) = −3/4: x = −arcsin(3/4)/2 + πn или x = (π+arcsin(3/4))/2 + πn. Дополнительное семейство не теряется.
16. sin(2x) = 4/5: x = arcsin(4/5)/2 + πn или x = (π−arcsin(4/5))/2 + πn. Любой общий угол должен удовлетворять sin(2x)=4/5.
17. sin(2x) = −4/5: x = −arcsin(4/5)/2 + πn или x = (π+arcsin(4/5))/2 + πn. Нет необходимости приближать arcsin(4/5).
18. sin(2x) = 2/3: x = arcsin(2/3)/2 + πn или x = (π−arcsin(2/3))/2 + πn. Не путайте arcsin(2/3) с числом 2/3.
19. sin(2x) = −2/3: x = −arcsin(2/3)/2 + πn или x = (π+arcsin(2/3))/2 + πn. Равенство проверяется подстановкой.
20. sin(2x) = 5/4: решений нет. 5/4 больше максимума синуса.
21. sin(2x) = −6/5: решений нет. −6/5 меньше минимума синуса.

Диагностика трёх опасных ошибок

Проверка учителя: для заданий 4–19 необходимо показать обе ветви, для 1–3 допустима объединённая запись, для 20–21 ответ пустой. Можно выдавать серии отдельно или вместе: ключ вынесен после всех заданий и не требует внешних сервисов.