Условие перпендикулярности пространственных векторов — карточки с ответами, 11 класс

Диагностическая карточка. Для пространственных векторов a=(a₁;a₂;a₃), b=(b₁;b₂;b₃) условие перпендикулярности двух ненулевых векторов: a·b=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃=0. Это проверка именно прямого угла, а не равенства длин или координат.

Перед стартом — короткая проверка

Убедитесь, что можете перемножать числа разных знаков и вычитать координаты точек: AB=(x_B−x_A;y_B−y_A;z_B−z_A). Например, для a=(2;−1;4) и b=(1;2;0) получается 2−2+0=0. Значит, между ненулевыми a и b прямой угол.

12 упражнений для самостоятельной работы

1. Векторы a=(2, -1, 3), b=(1, 5, 1). Определите, перпендикулярны ли они; покажите расчёт скалярного произведения.
2. Векторы a=(4, 2, -1), b=(1, -1, 2). Определите, перпендикулярны ли они; покажите расчёт скалярного произведения.
3. Векторы a=(1, 2, 2), b=(2, -1, 0). Определите, перпендикулярны ли они; покажите расчёт скалярного произведения.
4. Векторы a=(3, -2, 1), b=(2, 1, 0). Определите, перпендикулярны ли они; покажите расчёт скалярного произведения.
5. Векторы a=(5, 0, -2), b=(2, 1, 5). Определите, перпендикулярны ли они; покажите расчёт скалярного произведения.
6. Векторы a=(-1, 4, 2), b=(2, 1, -1). Определите, перпендикулярны ли они; покажите расчёт скалярного произведения.
7. Найдите t, если векторы a=(t;2;−1) и b=(3;1;2) ненулевые и перпендикулярны.
8. Найдите k, при котором a=(1;k;3) и b=(4;−2;2) образуют прямой угол.
9. Найдите s из условия перпендикулярности a=(−2;1;s), b=(1;2;−3).
10. Точки A(0;1;1), B(2;2;0), C(1;2;1), D(2;0;1). Проверьте, перпендикулярны ли направления AB и CD.
11. Точки A(1;0;2), B(3;1;5), C(0;1;1), D(2;0;0). Определите угол между направлениями AB и CD: прямой или не прямой?
12. Ученик заявил: «нулевой вектор (0;0;0) образует прямой угол с (1;2;3), ведь произведение равно нулю». Что нужно уточнить?

Самопроверка по типу действия

Полный ключ ответов

1. a·b=(2)·(1) + (-1)·(5) + (3)·(1) = 0. Да, оба вектора ненулевые, а скалярное произведение равно нулю.
2. a·b=(4)·(1) + (2)·(-1) + (-1)·(2) = 0. Да, оба вектора ненулевые, а скалярное произведение равно нулю.
3. a·b=(1)·(2) + (2)·(-1) + (2)·(0) = 0. Да, оба вектора ненулевые, а скалярное произведение равно нулю.
4. a·b=(3)·(2) + (-2)·(1) + (1)·(0) = 4. Нет: скалярное произведение не равно нулю.
5. a·b=(5)·(2) + (0)·(1) + (-2)·(5) = 0. Да, оба вектора ненулевые, а скалярное произведение равно нулю.
6. a·b=(-1)·(2) + (4)·(1) + (2)·(-1) = 0. Да, оба вектора ненулевые, а скалярное произведение равно нулю.
7. 3t+2−2=3t=0, значит t=0. Векторы (0;2;−1) и (3;1;2) ненулевые.
8. 4−2k+6=0 ⇒ 10−2k=0 ⇒ k=5. Подстановка даёт 4−10+6=0.
9. −2+2−3s=0 ⇒ −3s=0 ⇒ s=0. Нулевой результат проверен.
10. AB=(2;1;−1), CD=(1;−2;0); 2·1+1·(−2)+(−1)·0=0. Перпендикулярны, длины обеих направляющих положительные.
11. AB=(2;1;3), CD=(2;−1;−1); 2·2+1·(−1)+3·(−1)=4−1−3=0. Прямой угол. Начальные точки не обязаны совпадать.
12. Алгебраически произведение действительно равно 0, и нулевой вектор иногда называют ортогональным всем векторам. Но у нулевого вектора нет направления, поэтому угол 90° между ним и другим вектором не определён.

Три ошибки, которые стоит исправить

• Потеря минуса. В координате −3 знак учитывается при каждом умножении: (−3)·2=−6, а не 6.
• Сравнение длин вместо скалярного произведения. Два вектора равной длины могут быть параллельны, а не перпендикулярны. Нужна сумма попарных произведений координат.
• Забытый нулевой вектор. Равенство a·0=0 верно, но геометрический угол с 0 не задан. Для доказательства прямого угла требуются ненулевые направления.

Оценка: 1 балл за правильный вывод и 1 балл за обоснованное вычисление в каждом задании. Полный результат — 24 балла. В задании 12 отдельным обоснованием считается указание на отсутствие направления у нулевого вектора.