Вероятность независимых событий при двух бросках монеты: пошаговые задания для 8 класса

Мини-тест, 8 класс. Два броска правильной монеты независимы: результат второго не зависит от первого. В этой карточке О означает орёл, Р — решка; порядок букв показывает порядок бросков. Для каждой задачи сначала установите пространство исходов, а уже потом считайте вероятность.

Шаг 1. Четыре последовательности, а не три

Все четыре результата равновозможны только при условии, что монета честная и броски независимы. Для события, состоящего из k перечисленных пар, вероятность равна k / 4. Например, орёл в первом броске появляется в исходах ОО и ОР, поэтому вероятность равна 2/4 = 1/2.

Шаг 2. Выбор, вычисление и короткое доказательство

1. Выберите правильную вероятность из 0, 1/4, 1/2, 3/4 и 1: оба раза выпал орёл. Рассматриваются два независимых броска правильной монеты.
2. Вычислите вероятность события: первый бросок дал решку. Рассматриваются два независимых броска правильной монеты.
3. Перечислите подходящие исходы и укажите вероятность: ровно один орёл. Рассматриваются два независимых броска правильной монеты.
4. Выберите правильную вероятность из 0, 1/4, 1/2, 3/4 и 1: хотя бы один орёл. Рассматриваются два независимых броска правильной монеты.
5. Вычислите вероятность события: ни одного орла. Рассматриваются два независимых броска правильной монеты.
6. Перечислите подходящие исходы и укажите вероятность: монеты показали разные стороны. Рассматриваются два независимых броска правильной монеты.
7. Выберите правильную вероятность из 0, 1/4, 1/2, 3/4 и 1: оба броска совпали. Рассматриваются два независимых броска правильной монеты.
8. Вычислите вероятность события: второй бросок дал орла. Рассматриваются два независимых броска правильной монеты.

Шаг 3. Составные условия и спорные решения

9. Перечислите подходящие исходы и укажите вероятность: первый орёл, затем решка. Рассматриваются два независимых броска правильной монеты.
10. Выберите правильную вероятность из 0, 1/4, 1/2, 3/4 и 1: хотя бы одна решка. Рассматриваются два независимых броска правильной монеты.
11. Вычислите вероятность события: ровно две решки. Рассматриваются два независимых броска правильной монеты.
12. Перечислите подходящие исходы и укажите вероятность: первый бросок не дал орла. Рассматриваются два независимых броска правильной монеты.
13. Верно ли: если в первом броске выпал орёл, то во втором орёл станет менее вероятным? Обоснуйте на модели независимых бросков.
14. Ученик получил для «орёл и решка в любом порядке» вероятность 1/4. Найдите его ошибку и правильный ответ.
15. Какие события независимы: A — орёл в первом броске; B — орёл во втором броске? Вычислите P(A), P(B), P(A и B).
16. Брошены две различимые правильные монеты. Событие «ровно один орёл». Меняется ли вероятность, если обе монеты бросили одновременно вместо последовательного подбрасывания?

Лист ответов на все 16 заданий

1. Оба раза выпал орёл: подходят ОО (1 из 4 равновозможных последовательностей); вероятность 1/4. Вероятность находится как число подходящих элементарных исходов, делённое на четыре.
2. Первый бросок дал решку: подходят РО, РР (2 из 4 равновозможных последовательностей); вероятность 1/2. Вероятность находится как число подходящих элементарных исходов, делённое на четыре.
3. Ровно один орёл: подходят ОР, РО (2 из 4 равновозможных последовательностей); вероятность 1/2. Порядок бросков учитывается: ОР и РО — разные исходы.
4. Хотя бы один орёл: подходят ОО, ОР, РО (3 из 4 равновозможных последовательностей); вероятность 3/4. Нельзя заменять событие «хотя бы один» событием «ровно один»: последовательность ОО тоже подходит.
5. Ни одного орла: подходят РР (1 из 4 равновозможных последовательностей); вероятность 1/4. Вероятность находится как число подходящих элементарных исходов, делённое на четыре.
6. Монеты показали разные стороны: подходят ОР, РО (2 из 4 равновозможных последовательностей); вероятность 1/2. Порядок бросков учитывается: ОР и РО — разные исходы.
7. Оба броска совпали: подходят ОО, РР (2 из 4 равновозможных последовательностей); вероятность 1/2. Вероятность находится как число подходящих элементарных исходов, делённое на четыре.
8. Второй бросок дал орла: подходят ОО, РО (2 из 4 равновозможных последовательностей); вероятность 1/2. Вероятность находится как число подходящих элементарных исходов, делённое на четыре.
9. Первый орёл, затем решка: подходят ОР (1 из 4 равновозможных последовательностей); вероятность 1/4. Вероятность находится как число подходящих элементарных исходов, делённое на четыре.
10. Хотя бы одна решка: подходят ОР, РО, РР (3 из 4 равновозможных последовательностей); вероятность 3/4. Вероятность находится как число подходящих элементарных исходов, делённое на четыре.
11. Ровно две решки: подходят РР (1 из 4 равновозможных последовательностей); вероятность 1/4. Вероятность находится как число подходящих элементарных исходов, делённое на четыре.
12. Первый бросок не дал орла: подходят РО, РР (2 из 4 равновозможных последовательностей); вероятность 1/2. Вероятность находится как число подходящих элементарных исходов, делённое на четыре.
13. Нет. Второй бросок не зависит от первого: P(орёл во втором | орёл в первом) = 1/2. Прошлый результат не исключает и не повышает шанс нового.
14. Ученик учёл только ОР. Есть также РО: 2 подходящих исхода из 4, поэтому P = 2/4 = 1/2.
15. Они независимы: P(A) = P(B) = 1/2, P(A и B) = 1/4 = (1/2) · (1/2). Произведение вероятностей работает именно из-за независимости.
16. Нет. Различимость сохраняет четыре равновозможных пары: ОО, ОР, РО, РР. Благоприятны две, вероятность 1/2. Важно не сливать ОР и РО в один равновероятный исход.

Почему три популярных рассуждения ошибочны

«После орла должна выпасть решка». Независимость означает отсутствие памяти у случайного механизма: вероятность каждой стороны на следующем броске по-прежнему равна 1/2. Последовательность ОО столь же возможна, как ОР.

«Есть три исхода: два орла, две решки, разные стороны». Это три категории, но их вероятности различаются: 1/4, 1/4 и 1/2. Для подсчёта равновозможных элементарных исходов нужны четыре упорядоченные пары.

«Вероятность ровно одного орла = 3/4». В событии «хотя бы один» подходят ОО, ОР и РО (3/4), а «ровно один» — только ОР и РО (1/2). Слова «ровно» и «хотя бы» меняют математическое условие.

Самопроверка. Отметьте 1 балл за каждую правильную вероятность с подходящими исходами или обоснованием. Максимум 16 баллов. Если получен ответ больше 1, найдите ошибку: ни одно событие не может занимать более четырёх из четырёх исходов.