Вероятность события или другого события без пересечения — рабочий лист для 8 класса

Рабочий лист по вероятности, 8 класс. Правило сложения применяют, когда требуется событие «A или B». Но сначала необходимо выяснить, могут ли оба события произойти одновременно. В первых 20 заданиях множества благоприятных исходов намеренно не пересекаются; последние четыре задания помогут не перепутать это условие с независимостью.

Короткая памятка: «или» без общего исхода

Если A и B несовместны, то есть не могут произойти вместе, вероятность хотя бы одного из них равна P(A или B) = P(A) + P(B). Например, при выборе одного числа от 1 до 8 событие A = «число 1 или 2», B = «число 6 или 7». Благоприятных номеров 2 + 2 = 4; поэтому P = 4/8 = 1/2.

Если события пересекаются, складывать их вероятности без поправки нельзя: общие исходы были бы посчитаны дважды. В этой карточке для тренировки отсутствия пересечения события A и B задаются через конкретные номера, чтобы проверка была наглядной. Запишите их в два непересекающихся набора перед вычислением.

Серия A. Находим благоприятные исходы

1. Из 8 одинаково вероятных пронумерованных жетонов от 1 до 8 выбирают один. Событие A: красный жетон (1, 3); событие B: синий жетон (4, 6). Определите вероятность A или B и покажите, что события несовместны.
2. Из 10 одинаково вероятных пронумерованных жетонов от 1 до 10 выбирают один. Событие A: номер чётный из набора 2, 4, 6 (2, 4, 6); событие B: номер 5 или 7 (5, 7). Определите вероятность A или B и покажите, что события несовместны.
3. Из 12 одинаково вероятных пронумерованных жетонов от 1 до 12 выбирают один. Событие A: номер не более 4 (1, 2, 3, 4); событие B: номер 9 либо 10 (9, 10). Определите вероятность A или B и покажите, что события несовместны.
4. Из 6 одинаково вероятных пронумерованных жетонов от 1 до 6 выбирают один. Событие A: выпала единица (1); событие B: выпала шестёрка (6). Определите вероятность A или B и покажите, что события несовместны.
5. Из 9 одинаково вероятных пронумерованных жетонов от 1 до 9 выбирают один. Событие A: номер с остатком 1 при делении на 3 (1, 4, 7); событие B: номер с остатком 2 при делении на 3 (2, 5, 8). Определите вероятность A или B и покажите, что события несовместны.
6. Из 15 одинаково вероятных пронумерованных жетонов от 1 до 15 выбирают один. Событие A: кратно трём (3, 6, 9, 12, 15); событие B: принадлежит набору 1, 2, 4 (1, 2, 4). Определите вероятность A или B и покажите, что события несовместны.
7. Из 7 одинаково вероятных пронумерованных жетонов от 1 до 7 выбирают один. Событие A: номер 2 или 3 (2, 3); событие B: номер 5 или 6 (5, 6). Определите вероятность A или B и покажите, что события несовместны.
8. Из 16 одинаково вероятных пронумерованных жетонов от 1 до 16 выбирают один. Событие A: номер не больше 5 (1, 2, 3, 4, 5); событие B: номер не меньше 12 (12, 13, 14, 15, 16). Определите вероятность A или B и покажите, что события несовместны.

Серия Б. Проверяем границы и полное покрытие

9. Из 11 одинаково вероятных пронумерованных жетонов от 1 до 11 выбирают один. Событие A: один из нечётных 3, 5, 7, 9 (3, 5, 7, 9); событие B: номер 2 или 4 (2, 4). Определите вероятность A или B и покажите, что события несовместны.
10. Из 20 одинаково вероятных пронумерованных жетонов от 1 до 20 выбирают один. Событие A: номер от 1 до 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6); событие B: номер от 13 до 17 (13, 14, 15, 16, 17). Определите вероятность A или B и покажите, что события несовместны.
11. Из 10 одинаково вероятных пронумерованных жетонов от 1 до 10 выбирают один. Событие A: нечётный номер (1, 3, 5, 7, 9); событие B: чётный номер (2, 4, 6, 8, 10). Определите вероятность A или B и покажите, что события несовместны.
12. Из 8 одинаково вероятных пронумерованных жетонов от 1 до 8 выбирают один. Событие A: номер 1 или 2 (1, 2); событие B: номер от 3 до 8 (3, 4, 5, 6, 7, 8). Определите вероятность A или B и покажите, что события несовместны.
13. Из 14 одинаково вероятных пронумерованных жетонов от 1 до 14 выбирают один. Событие A: один из указанных чётных номеров (2, 4, 6, 8); событие B: один из указанных нечётных номеров (1, 3, 5, 7). Определите вероятность A или B и покажите, что события несовместны.
14. Из 12 одинаково вероятных пронумерованных жетонов от 1 до 12 выбирают один. Событие A: номер с последней цифрой 1, 5 или 9 в указанном диапазоне (1, 5, 9); событие B: номер 2, 6 или 10 (2, 6, 10). Определите вероятность A или B и покажите, что события несовместны.
15. Из 18 одинаково вероятных пронумерованных жетонов от 1 до 18 выбирают один. Событие A: номер не более 3 (1, 2, 3); событие B: номер не менее 16 (16, 17, 18). Определите вероятность A или B и покажите, что события несовместны.
16. Из 9 одинаково вероятных пронумерованных жетонов от 1 до 9 выбирают один. Событие A: номер не более 5 (1, 2, 3, 4, 5); событие B: номер не менее 7 (7, 8, 9). Определите вероятность A или B и покажите, что события несовместны.

Серия В. Доказательство и типичные ловушки

17. Из 13 одинаково вероятных пронумерованных жетонов от 1 до 13 выбирают один. Событие A: номер не больше 3 (1, 2, 3); событие B: номер не меньше 10 (10, 11, 12, 13). Определите вероятность A или B и покажите, что события несовместны.
18. Из 5 одинаково вероятных пронумерованных жетонов от 1 до 5 выбирают один. Событие A: номер 1 или 2 (1, 2); событие B: номер 4 или 5 (4, 5). Определите вероятность A или B и покажите, что события несовместны.
19. Из 15 одинаково вероятных пронумерованных жетонов от 1 до 15 выбирают один. Событие A: номер даёт остаток 2 при делении на 3 (2, 5, 8, 11, 14); событие B: номер кратен 3 (3, 6, 9, 12, 15). Определите вероятность A или B и покажите, что события несовместны.
20. Из 12 одинаково вероятных пронумерованных жетонов от 1 до 12 выбирают один. Событие A: нечётный номер (1, 3, 5, 7, 9, 11); событие B: чётный номер (2, 4, 6, 8, 10, 12). Определите вероятность A или B и покажите, что события несовместны.
21. Бросают обычный кубик. A — выпало 1 или 2; B — выпало 2 или 3. Можно ли без изменений применять формулу P(A или B) = P(A) + P(B)? Объясните, что случилось с исходом 2.
22. Один жетон выбирают из чисел 1–10. A — число меньше 1; B — число 10. Совместны ли события и чему равна вероятность A или B?
23. Среди 12 билетов номера 1–12. A — номер от 1 до 6; B — номер от 7 до 12. Нужно ли вычитать что-либо из суммы вероятностей и почему?
24. Ученик утверждает: «Несовместные события всегда независимы». Проверьте на A = «кубик показывает 1», B = «кубик показывает 2»; сравните P(A и B) и P(A)·P(B).

Таблица ответов и обоснований

1. A содержит 2 исходов, B — 2. Общих номеров нет; поэтому P(A или B) = 2/8 + 2/8 = 1/2. Всего подходящих номеров 4 из 8.
2. A содержит 3 исходов, B — 2. Общих номеров нет; поэтому P(A или B) = 3/10 + 2/10 = 1/2. Всего подходящих номеров 5 из 10.
3. A содержит 4 исходов, B — 2. Общих номеров нет; поэтому P(A или B) = 4/12 + 2/12 = 1/2. Всего подходящих номеров 6 из 12.
4. A содержит 1 исходов, B — 1. Общих номеров нет; поэтому P(A или B) = 1/6 + 1/6 = 1/3. Всего подходящих номеров 2 из 6.
5. A содержит 3 исходов, B — 3. Общих номеров нет; поэтому P(A или B) = 3/9 + 3/9 = 2/3. Всего подходящих номеров 6 из 9.
6. A содержит 5 исходов, B — 3. Общих номеров нет; поэтому P(A или B) = 5/15 + 3/15 = 8/15. Всего подходящих номеров 8 из 15.
7. A содержит 2 исходов, B — 2. Общих номеров нет; поэтому P(A или B) = 2/7 + 2/7 = 4/7. Всего подходящих номеров 4 из 7.
8. A содержит 5 исходов, B — 5. Общих номеров нет; поэтому P(A или B) = 5/16 + 5/16 = 5/8. Всего подходящих номеров 10 из 16.
9. A содержит 4 исходов, B — 2. Общих номеров нет; поэтому P(A или B) = 4/11 + 2/11 = 6/11. Всего подходящих номеров 6 из 11.
10. A содержит 6 исходов, B — 5. Общих номеров нет; поэтому P(A или B) = 6/20 + 5/20 = 11/20. Всего подходящих номеров 11 из 20.
11. A содержит 5 исходов, B — 5. Общих номеров нет; поэтому P(A или B) = 5/10 + 5/10 = 1. Всего подходящих номеров 10 из 10.
12. A содержит 2 исходов, B — 6. Общих номеров нет; поэтому P(A или B) = 2/8 + 6/8 = 1. Всего подходящих номеров 8 из 8.
13. A содержит 4 исходов, B — 4. Общих номеров нет; поэтому P(A или B) = 4/14 + 4/14 = 4/7. Всего подходящих номеров 8 из 14.
14. A содержит 3 исходов, B — 3. Общих номеров нет; поэтому P(A или B) = 3/12 + 3/12 = 1/2. Всего подходящих номеров 6 из 12.
15. A содержит 3 исходов, B — 3. Общих номеров нет; поэтому P(A или B) = 3/18 + 3/18 = 1/3. Всего подходящих номеров 6 из 18.
16. A содержит 5 исходов, B — 3. Общих номеров нет; поэтому P(A или B) = 5/9 + 3/9 = 8/9. Всего подходящих номеров 8 из 9.
17. A содержит 3 исходов, B — 4. Общих номеров нет; поэтому P(A или B) = 3/13 + 4/13 = 7/13. Всего подходящих номеров 7 из 13.
18. A содержит 2 исходов, B — 2. Общих номеров нет; поэтому P(A или B) = 2/5 + 2/5 = 4/5. Всего подходящих номеров 4 из 5.
19. A содержит 5 исходов, B — 5. Общих номеров нет; поэтому P(A или B) = 5/15 + 5/15 = 2/3. Всего подходящих номеров 10 из 15.
20. A содержит 6 исходов, B — 6. Общих номеров нет; поэтому P(A или B) = 6/12 + 6/12 = 1. Всего подходящих номеров 12 из 12.
21. Нет: исход 2 принадлежит обоим событиям. P(A)=2/6, P(B)=2/6, но P(A или B)=3/6=1/2, а не 4/6. Условие «без пересечения» нарушено.
22. Да. Событие A невозможно: среди номеров 1–10 нет чисел меньше 1, так что P(A)=0. P(B)=1/10 и P(A или B)=1/10.
23. Нет. Эти события не пересекаются и вместе покрывают все 12 исходов. P(A или B)=6/12+6/12=1.
24. Утверждение неверно. P(A и B)=0, так как одно число не может быть одновременно 1 и 2; однако P(A)·P(B)=1/36. Независимость и несовместность — разные свойства.

Что показывают ошибки в вычислениях

Ошибка 1: сложить два пересекающихся события. Например, у кубика события «чётное» и «больше 3» содержат общие исходы 4 и 6. Механически прибавлять 3/6 + 3/6 нельзя: это дало бы 1 вместо верного значения 4/6. Сначала проверяют пересечение.

Ошибка 2: считать «или» словом «и». «Число 1 или 2» включает оба значения, но при одном выборе невозможно одновременно получить 1 и 2. Поэтому вероятность их пересечения нулевая, а объединения положительная.

Ошибка 3: путать несовместность и независимость. Два положительно вероятных несовместных события не являются независимыми: если произошло одно, второе уже не произойдёт. Равенство P(A и B)=P(A)·P(B) здесь не выполняется.

Критерии самопроверки. За каждую задачу 1 балл, если указаны количество элементарных исходов, факт отсутствия пересечения и правильная вероятность. В заданиях 21–24 балл даётся только за осмысленное объяснение. Максимум 24 балла. Во всех ответах должно выполняться 0 ≤ P ≤ 1.