Вероятность трёх успехов в пяти независимых испытаниях — рабочий лист для 11 класса
Рабочий лист о ровно трёх успехах в пяти независимых одинаковых по вероятности испытаниях. Пять испытаний — не обязательно пять попыток одного человека; это пять независимых повторений одной модели. «Успех» — просто выбранный исход.
Содержание статьи8 разделов
Краткое правило
При вероятности успеха p и неуспеха q = 1 − p вероятность ровно трёх успехов в пяти испытаниях равна C(5,3) p³q² = 10p³(1 − p)². Коэффициент 10 учитывает различные порядки расположения трёх успехов и двух неуспехов.
| Число успехов | Число неуспехов | Число порядков | Формула |
|---|---|---|---|
| 3 | 2 | 10 | 10p³(1 − p)² |
Найди ошибки — 6 мини-разборов
- Для p = 1/2 записали P(ровно 3) = (1/2)³(1/2)² = 1/32. Какой множитель забыли?
- Ученик посчитал C(5,3)=5. Почему это неверно?
- При p = 1/4 использовали 10 × (3/4)³ × (1/4)². Что перепутано?
- Утверждают: «Ровно три успеха» и «Не меньше трёх успехов» дают одинаковую вероятность. Оцените при p=1/2.
- Из p = 0 ученик получил 10 × 0³ × 1² = 10. В чём ошибка рассуждения?
- Пять испытаний зависимы, но к ним применили 10p³(1−p)². В чём пробел?
Исправления с обоснованиями
| № | Ответ с проверкой / объяснением |
|---|---|
| 1 | Нужно 10 вариантов положения трёх успехов: C(5,3)=10. Правильно P=10/32=5/16. |
| 2 | C(5,3)=5!/(3!2!)=10: после выбора первых двух мест для неуспехов вариантов столько же, сколько для трёх успехов. |
| 3 | Степень 3 должна стоять у вероятности успеха 1/4: P=10(1/4)³(3/4)²=45/512. |
| 4 | Нет. Ровно три: 10/32. Не меньше трёх: (10+5+1)/32 = 16/32 = 1/2. |
| 5 | Арифметически 0³=0 и вся вероятность равна нулю. Нельзя «сократить» нулевой множитель. |
| 6 | Формула требует независимости испытаний и одной и той же вероятности p. Без этих условий одинаковая вероятность последовательностей не гарантирована. |
Самостоятельная часть — 10 разных значений p
- Пять независимых испытаний, вероятность успеха в каждом p = 1/2. Найдите вероятность ровно трёх успехов (дробь без округления).
- Пять независимых испытаний, вероятность успеха в каждом p = 1/4. Найдите вероятность ровно трёх успехов (дробь без округления).
- Пять независимых испытаний, вероятность успеха в каждом p = 3/5. Найдите вероятность ровно трёх успехов (дробь без округления).
- Пять независимых испытаний, вероятность успеха в каждом p = 2/5. Найдите вероятность ровно трёх успехов (дробь без округления).
- Пять независимых испытаний, вероятность успеха в каждом p = 1/5. Найдите вероятность ровно трёх успехов (дробь без округления).
- Пять независимых испытаний, вероятность успеха в каждом p = 3/4. Найдите вероятность ровно трёх успехов (дробь без округления).
- Пять независимых испытаний, вероятность успеха в каждом p = 1/3. Найдите вероятность ровно трёх успехов (дробь без округления).
- Пять независимых испытаний, вероятность успеха в каждом p = 2/3. Найдите вероятность ровно трёх успехов (дробь без округления).
- Пять независимых испытаний, вероятность успеха в каждом p = 0. Найдите вероятность ровно трёх успехов (дробь без округления).
- Пять независимых испытаний, вероятность успеха в каждом p = 1. Найдите вероятность ровно трёх успехов (дробь без округления).
Ключ к самостоятельной части
| № | Ответ с проверкой / объяснением |
|---|---|
| 1 | P = C(5,3) × (1/2)³ × (1/2)² = 5/16. |
| 2 | P = C(5,3) × (1/4)³ × (3/4)² = 45/512. |
| 3 | P = C(5,3) × (3/5)³ × (2/5)² = 216/625. |
| 4 | P = C(5,3) × (2/5)³ × (3/5)² = 144/625. |
| 5 | P = C(5,3) × (1/5)³ × (4/5)² = 32/625. |
| 6 | P = C(5,3) × (3/4)³ × (1/4)² = 135/512. |
| 7 | P = C(5,3) × (1/3)³ × (2/3)² = 40/243. |
| 8 | P = C(5,3) × (2/3)³ × (1/3)² = 80/243. |
| 9 | P = C(5,3) × (0)³ × (1)² = 0; даже при крайних p формула корректна. |
| 10 | P = C(5,3) × (1)³ × (0)² = 0; даже при крайних p формула корректна. |
Чек-лист перед сдачей
- Проверено, что испытаний именно пять, а успехов требуется ровно три, не «хотя бы три».
- Есть два вида множителей: p в третьей степени, а (1 − p) во второй.
- Множитель C(5,3)=10 не потерян.
- Для p = 0 и p = 1 событие «ровно три» невозможно, поэтому ответ 0.
- Все ответы — безразмерные вероятности в пределах от 0 до 1.
Почему коэффициент равен десяти
Мысленно запишите пять клеток, соответствующих пяти попыткам. Нужно выбрать места для трёх успехов. Их можно расположить десятью способами: УУУНН, УУНУН, УУННУ, УНУУН, УНУНУ, УННУУ, НУУУН, НУУНУ, НУНУУ и ННУУУ, где У — успех, Н — неуспех. Каждая конкретная последовательность при независимости и одинаковом p имеет вероятность p³(1 − p)². Поэтому все десять вероятностей складываются.
Две проверки, которые полезно делать без калькулятора
При p = 1/2 все 32 последовательности из пяти исходов равновероятны. Ровно три успеха имеют 10 последовательностей, значит P = 10/32 = 5/16. Это одновременно проверка коэффициента и степеней. При p = 1/4 результат 45/512: число мало, поскольку три успеха при редком успехе гораздо менее типичны, чем один.
Симметрия распределения: вероятность ровно трёх успехов при p равна вероятности ровно двух успехов при 1 − p, но не вообще вероятности ровно трёх успехов при 1 − p. Поэтому в задании с p = 3/4 нельзя бездумно взять ответ для p = 1/4: множители степеней поменяются местами.
Если успехи не имеют одинаковых вероятностей, даже при независимости формула 10p³(1 − p)² не работает: каждый порядок уже может иметь другую вероятность. Тогда пришлось бы складывать вероятности всех десяти конкретных последовательностей с их собственными множителями. Отдельный случай — зависимые испытания, где нельзя перемножать вероятности без условных поправок.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.