Вероятность выбора числа кратного трём из заданного диапазона: задачи и решения для 7 класса

Задачи на классическую вероятность, 7 класс. В каждом задании выбирают одно целое число из заданного диапазона. Все варианты выбора считаются равновероятными. Поэтому вероятность события «полученное число кратно трём» равна отношению количества подходящих чисел к количеству всех возможных чисел.

Опорная таблица: что считать

Признак кратности трём: сумма цифр числа делится на 3. Для отрицательных чисел кратность понимается точно так же через равенство n = 3k, где k — целое число. Нуль тоже кратен трём: 0 = 3 · 0. Диапазон всегда включительно, если не указано иное.

Три шага решения

1. Посчитайте число исходов: N = правая граница − левая граница + 1. Даже когда границы отрицательные, формула верна.
2. Перечислите значения, кратные трём, не выходя за границы. Если подходящих чисел нет, m = 0.
3. Найдите m/N, при необходимости сократите дробь и проверьте, что вероятность лежит между 0 и 1 включительно.

Задачи по таблице диапазонов

Заполните пустые ячейки самостоятельно. В следующих заданиях каждый диапазон разобран как отдельная ситуация, а после заданий помещён полный ключ с перечислением всех благоприятных исходов.

Вычислительные и объяснительные задания — 16 диапазонов

1. Из всех целых чисел от 1 до 15 включительно наугад выбирают одно, причём все числа равновероятны. Найдите вероятность выбора числа, кратного трём. Укажите знаменатель и перечислите подходящие числа.
2. Из всех целых чисел от 7 до 20 включительно наугад выбирают одно, причём все числа равновероятны. Найдите вероятность выбора числа, кратного трём. Укажите знаменатель и перечислите подходящие числа.
3. Из всех целых чисел от 10 до 34 включительно наугад выбирают одно, причём все числа равновероятны. Найдите вероятность выбора числа, кратного трём. Укажите знаменатель и перечислите подходящие числа.
4. Из всех целых чисел от 14 до 29 включительно наугад выбирают одно, причём все числа равновероятны. Найдите вероятность выбора числа, кратного трём. Укажите знаменатель и перечислите подходящие числа.
5. Из всех целых чисел от 22 до 48 включительно наугад выбирают одно, причём все числа равновероятны. Найдите вероятность выбора числа, кратного трём. Укажите знаменатель и перечислите подходящие числа.
6. Из всех целых чисел от 35 до 59 включительно наугад выбирают одно, причём все числа равновероятны. Найдите вероятность выбора числа, кратного трём. Укажите знаменатель и перечислите подходящие числа.
7. Из всех целых чисел от 41 до 65 включительно наугад выбирают одно, причём все числа равновероятны. Найдите вероятность выбора числа, кратного трём. Укажите знаменатель и перечислите подходящие числа.
8. Из всех целых чисел от 2 до 9 включительно наугад выбирают одно, причём все числа равновероятны. Найдите вероятность выбора числа, кратного трём. Укажите знаменатель и перечислите подходящие числа.
9. Из всех целых чисел от 27 до 30 включительно наугад выбирают одно, причём все числа равновероятны. Найдите вероятность выбора числа, кратного трём. Укажите знаменатель и перечислите подходящие числа.
10. Из всех целых чисел от 50 до 80 включительно наугад выбирают одно, причём все числа равновероятны. Найдите вероятность выбора числа, кратного трём. Укажите знаменатель и перечислите подходящие числа.
11. Из всех целых чисел от 101 до 120 включительно наугад выбирают одно, причём все числа равновероятны. Найдите вероятность выбора числа, кратного трём. Укажите знаменатель и перечислите подходящие числа.
12. Из всех целых чисел от 0 до 18 включительно наугад выбирают одно, причём все числа равновероятны. Найдите вероятность выбора числа, кратного трём. Укажите знаменатель и перечислите подходящие числа.
13. Из всех целых чисел от -8 до 7 включительно наугад выбирают одно, причём все числа равновероятны. Найдите вероятность выбора числа, кратного трём. Укажите знаменатель и перечислите подходящие числа.
14. Из всех целых чисел от -13 до -2 включительно наугад выбирают одно, причём все числа равновероятны. Найдите вероятность выбора числа, кратного трём. Укажите знаменатель и перечислите подходящие числа.
15. Из всех целых чисел от 3 до 3 включительно наугад выбирают одно, причём все числа равновероятны. Найдите вероятность выбора числа, кратного трём. Укажите знаменатель и перечислите подходящие числа.
16. Из всех целых чисел от 4 до 5 включительно наугад выбирают одно, причём все числа равновероятны. Найдите вероятность выбора числа, кратного трём. Укажите знаменатель и перечислите подходящие числа.

Четыре вопроса о границах и дополнении события

1. В диапазоне от 6 до 24 включительно ученик посчитал всего 18 чисел. Найдите ошибку; затем определите вероятность выбрать кратное трём.
2. Почему в диапазоне от −6 до 6 число 0 относится к числам, кратным трём? Найдите вероятность выбора кратного трём при равновероятном выборе целого числа.
3. Выбрано целое число от 2 до 11 включительно. События A: «кратно трём» и Б: «не кратно трём». Найдите вероятность события Б и проверьте, что суммы вероятностей А и Б равны 1.
4. Если диапазон заменить с «от 15 до 28» на «от 16 до 28» включительно, уменьшится ли вероятность кратного трём? Вычислите обе вероятности.

Полные решения с проверкой исходных данных

1. От 1 до 15 включительно N = 15 − (1) + 1 = 15 чисел. Кратные трём: 3; 6; 9; 12; 15; их m = 5. Вероятность P = 5/15 = 1/3.
2. От 7 до 20 включительно N = 20 − (7) + 1 = 14 чисел. Кратные трём: 9; 12; 15; 18; их m = 4. Вероятность P = 4/14 = 2/7.
3. От 10 до 34 включительно N = 34 − (10) + 1 = 25 чисел. Кратные трём: 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; их m = 8. Вероятность P = 8/25 = 8/25.
4. От 14 до 29 включительно N = 29 − (14) + 1 = 16 чисел. Кратные трём: 15; 18; 21; 24; 27; их m = 5. Вероятность P = 5/16 = 5/16.
5. От 22 до 48 включительно N = 48 − (22) + 1 = 27 чисел. Кратные трём: 24; 27; 30; 33; 36; 39; 42; 45; 48; их m = 9. Вероятность P = 9/27 = 1/3.
6. От 35 до 59 включительно N = 59 − (35) + 1 = 25 чисел. Кратные трём: 36; 39; 42; 45; 48; 51; 54; 57; их m = 8. Вероятность P = 8/25 = 8/25.
7. От 41 до 65 включительно N = 65 − (41) + 1 = 25 чисел. Кратные трём: 42; 45; 48; 51; 54; 57; 60; 63; их m = 8. Вероятность P = 8/25 = 8/25.
8. От 2 до 9 включительно N = 9 − (2) + 1 = 8 чисел. Кратные трём: 3; 6; 9; их m = 3. Вероятность P = 3/8 = 3/8.
9. От 27 до 30 включительно N = 30 − (27) + 1 = 4 чисел. Кратные трём: 27; 30; их m = 2. Вероятность P = 2/4 = 1/2.
10. От 50 до 80 включительно N = 80 − (50) + 1 = 31 чисел. Кратные трём: 51; 54; 57; 60; 63; 66; 69; 72; 75; 78; их m = 10. Вероятность P = 10/31 = 10/31.
11. От 101 до 120 включительно N = 120 − (101) + 1 = 20 чисел. Кратные трём: 102; 105; 108; 111; 114; 117; 120; их m = 7. Вероятность P = 7/20 = 7/20.
12. От 0 до 18 включительно N = 18 − (0) + 1 = 19 чисел. Кратные трём: 0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; их m = 7. Вероятность P = 7/19 = 7/19.
13. От -8 до 7 включительно N = 7 − (-8) + 1 = 16 чисел. Кратные трём: -6; -3; 0; 3; 6; их m = 5. Вероятность P = 5/16 = 5/16.
14. От -13 до -2 включительно N = -2 − (-13) + 1 = 12 чисел. Кратные трём: -12; -9; -6; -3; их m = 4. Вероятность P = 4/12 = 1/3.
15. От 3 до 3 включительно N = 3 − (3) + 1 = 1 чисел. Кратные трём: 3; их m = 1. Вероятность P = 1/1 = 1.
16. От 4 до 5 включительно N = 5 − (4) + 1 = 2 чисел. Кратные трём: нет; их m = 0. Вероятность P = 0/2 = 0.

Пояснения к вопросам о границах

1. От 6 до 24 включительно 24 − 6 + 1 = 19 чисел. Кратные трём: 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 — всего 7; P = 7/19. Ошибка — забыта включённая левая или правая граница.
2. 0 = 3 · 0, поэтому 0 кратно 3. Между −6 и 6 включительно 13 чисел; подходящие −6, −3, 0, 3, 6 — пять, P = 5/13.
3. Всего 10 чисел (2…11). Кратные трём: 3, 6, 9 — три, значит не кратных — семь: P(Б) = 7/10. Проверка: 3/10 + 7/10 = 1.
4. От 15 до 28: всего 14, кратные 15, 18, 21, 24, 27 — пять; 5/14. От 16 до 28: всего 13, кратные 18, 21, 24, 27 — четыре; 4/13. Да: 4/13 < 5/14, поскольку 56 < 65 при перекрёстном умножении.

Как обнаружить ошибку самостоятельно

Проверка единицы вероятности. Благоприятных исходов не может быть больше числа исходов. Если вышла вероятность больше 1 или отрицательная, перепроверьте границы и количество кратных.

Проверка включённых концов. Для диапазона от 3 до 3 есть ровно одно допустимое число 3 и вероятность 1. Для диапазона от 4 до 5 есть два числа и ни одного кратного трём, то есть вероятность 0. Оба результата математически допустимы.

Проверка честности выбора. Формула m/N применяется, только когда каждое целое число выбирается с одинаковой вероятностью. Если, например, некоторые числа написаны на двух жетонах, а другие на одном, нужно учитывать повторяющиеся жетоны, и такой вопрос уже относится к другой модели опыта.

Итог. Перед вычислением вероятности всегда назовите множество исходов и благоприятное событие, затем явно выпишите числитель и знаменатель. Ответ без указания диапазона и включения границ трудно проверить.