Вершина параболы по формуле квадратичной функции: самостоятельная работа для 9 класса

9 класс · самостоятельная работа · 28 заданий. Необходимая цель — находить координаты вершины параболы, если дана стандартная формула y = ax² + bx + c, a ≠ 0. Задания идут по ступеням: сначала вычисляется абсцисса, затем проверяется тип экстремума, наконец решаются случаи с дробными координатами. Для каждого упражнения предусмотрена проверка обратной подстановкой.

Алгоритм на полях тетради

Например, для y = 2x² − 8x + 3 получаем x₀ = 8/4 = 2. Тогда y₀ = 2·4 − 8·2 + 3 = −5. Вершина (2; −5), ветви направлены вверх и значение −5 — минимальное. Перевод в вершинную форму даёт y = 2(x − 2)² − 5; проверка раскрытием скобок возвращает исходные коэффициенты.

Ступень 1. Найдите координаты вершины (1–10)

1. Для y = x² − 4x + 7 вычислите x₀ и y₀. Запишите вершину в формате (x₀; y₀).
2. Для y = x² + 6x + 11 вычислите x₀ и y₀. Запишите вершину в формате (x₀; y₀).
3. Для y = 2x² − 4x − 2 вычислите x₀ и y₀. Запишите вершину в формате (x₀; y₀).
4. Для y = −x² + 4x + 1 вычислите x₀ и y₀. Запишите вершину в формате (x₀; y₀).
5. Для y = 3x² + 6x + 3 вычислите x₀ и y₀. Запишите вершину в формате (x₀; y₀).
6. Для y = -2x² − 8x − 7 вычислите x₀ и y₀. Запишите вершину в формате (x₀; y₀).
7. Для y = x² − 6 вычислите x₀ и y₀. Запишите вершину в формате (x₀; y₀).
8. Для y = 2x² − 12x + 19 вычислите x₀ и y₀. Запишите вершину в формате (x₀; y₀).
9. Для y = -3x² + 6x − 1 вычислите x₀ и y₀. Запишите вершину в формате (x₀; y₀).
10. Для y = −x² − 8x − 18 вычислите x₀ и y₀. Запишите вершину в формате (x₀; y₀).

В первой ступени абсциссы вершин целые. Это не означает, что результат можно угадать по рисунку: впоследствии появятся дробные координаты. Важно последовательно выписывать коэффициент b со знаком, особенно когда он отрицателен. Типичный сбой: заменить −b/(2a) на b/(2a); при симметричных коэффициентах такая ошибка сразу меняет знак x₀.

Ступень 2. Вершина и наибольшее/наименьшее значение (11–20)

11. Для y = x² − 10x + 24 найдите вершину, укажите направление ветвей и минимум функции.
12. Для y = −x² + 2x − 6 найдите вершину, укажите направление ветвей и максимум функции.
13. Для y = 2x² + 12x + 22 найдите вершину, укажите направление ветвей и минимум функции.
14. Для y = -2x² + 16x − 29 найдите вершину, укажите направление ветвей и максимум функции.
15. Для y = 3x² − 12x + 5 найдите вершину, укажите направление ветвей и минимум функции.
16. Для y = −x² − 4x + 4 найдите вершину, укажите направление ветвей и максимум функции.
17. Для y = 4x² + 8x + 6 найдите вершину, укажите направление ветвей и минимум функции.
18. Для y = -3x² − 18x − 22 найдите вершину, укажите направление ветвей и максимум функции.
19. Для y = 2x² − 1 найдите вершину, укажите направление ветвей и минимум функции.
20. Для y = -2x² + 6 найдите вершину, укажите направление ветвей и максимум функции.

Во второй ступени нельзя ограничиваться координатами вершины. Квадратичная функция с положительным коэффициентом a имеет ветви вверх, поэтому y₀ — наименьшее значение на всей числовой прямой. При отрицательном a ветви направлены вниз, и y₀ — наибольшее значение. Для данной формулы это определяется знаком a, а не знаком свободного члена c или ординаты вершины.

Ступень 3. Дробные координаты и выделение квадрата (21–28)

21. Найдите вершину графика y = 2x² − 2x + 2; затем представьте функцию в виде y = a(x − h)² + k и проверьте раскрытием скобок.
22. Найдите вершину графика y = 2x² + 2x − 1; затем представьте функцию в виде y = a(x − h)² + k и проверьте раскрытием скобок.
23. Найдите вершину графика y = -2x² + 2x + 2; затем представьте функцию в виде y = a(x − h)² + k и проверьте раскрытием скобок.
24. Найдите вершину графика y = -2x² − 2x − 3; затем представьте функцию в виде y = a(x − h)² + k и проверьте раскрытием скобок.
25. Найдите вершину графика y = 4x² − 4x; затем представьте функцию в виде y = a(x − h)² + k и проверьте раскрытием скобок.
26. Найдите вершину графика y = 4x² + 4x + 2; затем представьте функцию в виде y = a(x − h)² + k и проверьте раскрытием скобок.
27. Найдите вершину графика y = -4x² + 4x + 2; затем представьте функцию в виде y = a(x − h)² + k и проверьте раскрытием скобок.
28. Найдите вершину графика y = -4x² − 4x − 4; затем представьте функцию в виде y = a(x − h)² + k и проверьте раскрытием скобок.

Самопроверка: три независимых признака

Первый признак — верная ось x = x₀: две точки x = x₀ − 1 и x = x₀ + 1 должны иметь равные ординаты. Второй — значение y₀ действительно равно f(x₀); следите за приоритетом возведения в квадрат перед умножением. Третий — в формуле a(x − x₀)² + y₀ после раскрытия скобок снова получаются те же a, b и c. Если все три проверки выполнены, вероятность ошибки в вершине минимальна.

Как работать с ошибками: если неверна только абсцисса, повторите знаки в формуле −b/(2a). Если x₀ верный, но y₀ неверный, найдите первую ошибку в подстановке. Если координаты правильные, а вывод «максимум/минимум» неверный, используйте тестовую точку на единицу правее вершины: при a > 0 её ордината будет выше на a, при a < 0 — ниже на |a|.

Материал рассчитан на разную скорость класса. Базовый уровень — пункты 1–10, стандартный — до 20, углубление — до 28. Учащийся, ещё не изучивший выделение полного квадрата по программе школы, может выполнить 21–28 только по формуле координат вершины; преобразование во вторую форму оставляют как дополнительное задание.

Ответы и пояснения для проверки

Сначала выполните работу самостоятельно. При печати только для ученика не включайте страницы с ключом. Ниже ответы в той же нумерации.

Ответы к ступени 1

1. a = 1, b = -4; x₀ = −(-4)/(2·(1)) = 2; y₀ = 3. Вершина (2; 3).
2. a = 1, b = 6; x₀ = −(6)/(2·(1)) = -3; y₀ = 2. Вершина (-3; 2).
3. a = 2, b = -4; x₀ = −(-4)/(2·(2)) = 1; y₀ = -4. Вершина (1; -4).
4. a = -1, b = 4; x₀ = −(4)/(2·(-1)) = 2; y₀ = 5. Вершина (2; 5).
5. a = 3, b = 6; x₀ = −(6)/(2·(3)) = -1; y₀ = 0. Вершина (-1; 0).
6. a = -2, b = -8; x₀ = −(-8)/(2·(-2)) = -2; y₀ = 1. Вершина (-2; 1).
7. a = 1, b = 0; x₀ = −(0)/(2·(1)) = 0; y₀ = -6. Вершина (0; -6).
8. a = 2, b = -12; x₀ = −(-12)/(2·(2)) = 3; y₀ = 1. Вершина (3; 1).
9. a = -3, b = 6; x₀ = −(6)/(2·(-3)) = 1; y₀ = 2. Вершина (1; 2).
10. a = -1, b = -8; x₀ = −(-8)/(2·(-1)) = -4; y₀ = -2. Вершина (-4; -2).

Ответы к ступени 2

11. (5; -1); ветви вверх; минимум -1. Проверка: y = (x − 5)² − 1.
12. (1; -5); ветви вниз; максимум -5. Проверка: y = −(x − 1)² − 5.
13. (-3; 4); ветви вверх; минимум 4. Проверка: y = 2(x + 3)² + 4.
14. (4; 3); ветви вниз; максимум 3. Проверка: y = -2(x − 4)² + 3.
15. (2; -7); ветви вверх; минимум -7. Проверка: y = 3(x − 2)² − 7.
16. (-2; 8); ветви вниз; максимум 8. Проверка: y = −(x + 2)² + 8.
17. (-1; 2); ветви вверх; минимум 2. Проверка: y = 4(x + 1)² + 2.
18. (-3; 5); ветви вниз; максимум 5. Проверка: y = -3(x + 3)² + 5.
19. (0; -1); ветви вверх; минимум -1. Проверка: y = 2x² − 1.
20. (0; 6); ветви вниз; максимум 6. Проверка: y = -2x² + 6.

Ответы к ступени 3

21. x₀ = 1/2, y₀ = 3/2; вершина (1/2; 3/2). Выделение квадрата: y = 2(x − 1/2)² + 3/2. При раскрытии получаем 2x² − 2x + 2.
22. x₀ = -1/2, y₀ = -3/2; вершина (-1/2; -3/2). Выделение квадрата: y = 2(x + 1/2)² − 3/2. При раскрытии получаем 2x² + 2x − 1.
23. x₀ = 1/2, y₀ = 5/2; вершина (1/2; 5/2). Выделение квадрата: y = -2(x − 1/2)² + 5/2. При раскрытии получаем -2x² + 2x + 2.
24. x₀ = -1/2, y₀ = -5/2; вершина (-1/2; -5/2). Выделение квадрата: y = -2(x + 1/2)² − 5/2. При раскрытии получаем -2x² − 2x − 3.
25. x₀ = 1/2, y₀ = -1; вершина (1/2; -1). Выделение квадрата: y = 4(x − 1/2)² − 1. При раскрытии получаем 4x² − 4x.
26. x₀ = -1/2, y₀ = 1; вершина (-1/2; 1). Выделение квадрата: y = 4(x + 1/2)² + 1. При раскрытии получаем 4x² + 4x + 2.
27. x₀ = 1/2, y₀ = 3; вершина (1/2; 3). Выделение квадрата: y = -4(x − 1/2)² + 3. При раскрытии получаем -4x² + 4x + 2.
28. x₀ = -1/2, y₀ = -3; вершина (-1/2; -3). Выделение квадрата: y = -4(x + 1/2)² − 3. При раскрытии получаем -4x² − 4x − 4.

Критерии: в заданиях 1–10 — по баллу за x₀ и y₀ (20 баллов). В заданиях 11–20 — по одному за вершину и по одному за верный экстремум (20). В заданиях 21–28 — по одному за координаты и по одному за корректную вершинную форму (16). Максимум 56 баллов. Можно оценивать блоки отдельно; тогда не смешивайте шкалы. При проверке засчитывайте любую тождественно равную запись полного квадрата с теми же коэффициентами.

Важное различие: ось симметрии — это прямая x = x₀, а вершина — конкретная точка (x₀; y₀). Нельзя отвечать «x = 2» на вопрос о координатах вершины: без ординаты ответ неполный. Для выделения полного квадрата следите, чтобы множитель a оставался перед всей скобкой, а не только перед x².