Восстановление числа вариантов для рассадки с запретами на соседство: тематические карточки для 10 класса

Короткая диагностика: 10 класс. Все люди различимы. Если их сажают в ряд, перестановки у разных концов ряда считаются разными. При посадке за круглым столом поворот не создаёт новый вариант, а отражение считаем другим порядком. Для двух конкретных людей A и Б, которым нельзя сидеть рядом в ряду из n мест, число вариантов равно n!−2(n−1)!.

Три контрольных вопроса

1. Четыре человека садятся в ряд; А и Б не должны быть соседями. Ученик ответил 4!−3!. Найдите пропущенный множитель.
2. Пять человек садятся в ряд; А и Б должны сидеть не рядом. Объясните, почему запрещённых посадок именно 2·4!, а не просто 4!.
3. Пятеро садятся за круглый стол; А и Б не соседи. Можно ли взять ответ для ряда и разделить на 5? Обоснуйте.

Новые карточки: восстановите число допустимых рассадок

4. В ряд садятся 6 учеников. Пара А и Б не должна оказаться рядом. Найдите число вариантов.
5. В ряд садятся 7 участников. Два ведущих не должны сидеть рядом. Каков результат?
6. Пятеро садятся в ряд; А занимает крайнее левое место, Б не может быть рядом с А. Сколько посадок?
7. В ряд садятся 5 человек; А не может сидеть рядом ни с Б, ни с В. Сколько посадок?
8. Пять человек садятся в ряд; пары (А,Б) и (В,Г) не должны быть соседними. Найдите число вариантов.
9. В круг садятся 6 человек; А и Б не должны быть рядом. Сколько круговых рассадок с различными направлениями обхода?
10. В ряд садятся 4 человека; А и Б должны находиться на расстоянии не менее двух мест (между ними хотя бы один человек). Сколько рассадок?
11. В ряд садятся 6 человек; между А и Б должно быть не меньше двух других людей. Сколько рассадок?
12. В ряд садятся 5 человек; А и Б обязаны сидеть рядом, хотя в предыдущих заданиях это запрещалось. Сколько вариантов?

Быстрый ключ с проверкой крайних случаев

• 1. 4!−2·3!=24−12=12; блок АБ имеет два внутренних порядка.
• 2. Рассматриваем блок АБ (или БА), затем ещё трёх людей: 4!·2=48 плохих рассадок.
• 3. Нет. Деление (5!−2·4!)/5=72/5 не годится: линейный запрет не учитывает соседство по кругу между крайними местами. Правильно (5−1)!−2·(5−2)!=24−12=12.
• 4. 6!−2·5!=720−240=480.
• 5. 7!−2·6!=5040−1440=3600.
• 6. С А слева фиксировано 4! посадки; Б рядом — 3!, поэтому 24−6=18.
• 7. Исключаем соседство АБ и АВ: 5!−2·2·4!+2·3!=120−96+12=36. При пересечении А стоит между Б и В.
• 8. Два запрещённых непересекающихся блока: 5!−4·4!+4·3!=120−96+24=48.
• 9. За круглым столом (6−1)!−2·(6−2)!=120−48=72.
• 10. Из 4! вычитаем 2·3!: 24−12=12.
• 11. Расстояние между позициями А и Б не менее 3. Таких упорядоченных пар позиций 12, остальных можно разместить 4! способами: 12·24=288.
• 12. Считаем блок (АБ или БА): 2·4!=48. Здесь правило «запрещённые места» не применяется — блок требуется.

Уточнение к заданию 3: хотя ряд с разрезанным кругом имеет 5! записей, соседство двух людей через «стык» ряда тоже запрещено при круговой посадке. Именно поэтому нельзя сначала исключить только соседние места в линейном ряду, а потом механически разделить результат на пять.