Восстановление числа вариантов при размещении предметов по ящикам: диагностика ошибок, 10 класс

Диагностика ошибок, 10 класс. До подсчёта выясните три детали: различимы ли сами предметы; различимы ли ящики; разрешены ли пустые ящики. Ответы могут различаться в десятки раз. Например, три разных значка, помещаемые в два подписанных ящика без ограничения вместимости, дают 2³=8 размещений. Но три одинаковых шарика в два подписанных ящика дают четыре распределения количеств: (0,3), (1,2), (2,1), (3,0).

Исправьте пять ошибочных рассуждений

1. Четыре разных сувенира раскладывают по трём подписанным ящикам; пустые допустимы. Ученик получил 3·4=12.
2. Пять одинаковых шариков распределяют по двум подписанным коробкам; пустые возможны. Ученик написал 2⁵=32.
3. Три разных жетона распределяют по двум подписанным ящикам так, чтобы оба были непустыми. Ученик посчитал 2³=8.
4. Четыре разных открытки кладут в две неподписанные коробки; обе должны быть непусты. Ученик получил 2⁴−2=14.
5. Четыре одинаковые фишки раскладывают по трём подписанным коробкам, все должны быть непусты. Ученик получил C(6,2)=15.

Первичная проверка

• 1. 81: каждому из четырёх разных предметов независимо доступно 3 ящика, то есть 3⁴.
• 2. 6: число решений x₁+x₂=5 в неотрицательных целых — 6; одинаковые шарики не дают 32 самостоятельных назначений.
• 3. 6: исключаем два распределения, в которых весь набор оказался в одном из ящиков; 8−2.
• 4. 7: из 14 распределений по подписанным коробкам каждый способ без подписей посчитан дважды (обмен коробок); 14/2=7.
• 5. 3: решения x₁+x₂+x₃=4 при xᵢ≥1; после отложения по одному остаётся 1 одинаковая фишка на три ящика.

Самостоятельные случаи: найдите способ и объясните модель

6. Пять разных карандашей кладут в два подписанных пенала; пустые пеналы допустимы. Сколько вариантов?
7. Пять одинаковых кубиков раскладывают в три подписанных ящика; пустые ящики разрешены. Сколько распределений?
8. Три разных мяча распределяют по трём подписанным корзинам так, чтобы каждая получила хотя бы один мяч. Сколько способов?
9. Четыре разных книги распределяют между двумя подписанными полками поровну — по две книги на каждую.
10. Четыре одинаковые монеты раскладывают по двум неподписанным коробкам, пустые допустимы. Сколько разных наборов заполненности?
11. Четыре разных предмета распределяют по двум неподписанным коробкам, обе непусты. Сколько вариантов?
12. Три разных предмета раскладывают по трём подписанным ящикам: ровно один ящик остаётся пустым. Сколько способов?
13. Четыре одинаковых шара помещают в три подписанных ящика: ровно один из них пустой. Сколько способов?
14. Пять разных значков распределяют в два подписанных ящика; первый обязан содержать ровно два. Сколько размещений?
15. Четыре разных предмета раскладывают по трём подписанным ящикам; первый должен получить хотя бы один. Сколько способов?

Ответы с разъяснением подсчёта

• 6. 32 = 2⁵: предметы разные, пеналы подписаны, каждый выбирает один из двух.
• 7. 21 = C(5+3−1,3−1)=C(7,2): неотрицательные целые решения x₁+x₂+x₃=5.
• 8. 6 = 3!: по одному мячу в каждую корзину (их тоже три).
• 9. 6 = C(4,2): выбираем две книги для первой полки, остальные автоматически идут на вторую.
• 10. 3: заполнения без подписей (4,0), (3,1), (2,2).
• 11. 7: (2⁴−2)/2; перестановка названий коробок ничего не меняет.
• 12. 18: выбрать пустой ящик 3 способами, затем распределить мячи в оставшиеся два без пустоты 2³−2=6; 3·6.
• 13. 9: выбрать единственный пустой ящик (3), а по двум другим распределить четыре одинаковых шара положительно (3).
• 14. 10: выбрать из пяти ровно два для первого ящика C(5,2).
• 15. 65: из всех 3⁴=81 исключить 2⁴=16 размещений без предметов в первом ящике.

Проверка на повторный счёт особенно важна для неподписанных ящиков. Например, при четырёх разных предметах и двух непустых коробках обмен содержимым между «первой» и «второй» коробками ничего не меняет, если эти названия не существуют в условии. Здесь деление на 2 законно, потому что обе коробки непустые и содержимое различается; пустых коробок в паре нет. Но для трёх одинаковых ящиков деление на 3! без проверки симметрий уже может давать ошибку.

В задаче с одинаковыми предметами и подписанными ящиками полезнее записать уравнение x₁+···+x_k=n. Для непустых ящиков каждое xᵢ≥1; для допускающих пустоту — xᵢ≥0. Это снимает путаницу между количеством предметов и количеством последовательных выборов. В задаче 13, например, недопустимо «назначить» каждый одинаковый шар одному из ящиков как отдельный объект — один и тот же итог попадёт в счёт много раз.

Сравнение двух моделей на одних и тех же числах даёт хорошую самопроверку. Если есть четыре различных письма и два подписанных ящика, допускающих пустоту, получится 2⁴=16 вариантов. Если же письма неотличимы друг от друга, результат определяется только тем, сколько писем лежит в первом ящике: возможны значения 0, 1, 2, 3, 4, всего пять. Изменение ответа объясняется различимостью предметов, а не просто выбором другой формулы.