Восстановление числа вариантов при выборе команды с обязательным участником — проверочная работа по математике, 10 класс

Печатная проверочная работа, 10 класс. В каждой задаче команда является множеством людей: порядок записи участников не важен. Если среди n человек есть один обязательный участник А, а команда состоит ровно из k, то А уже включён и остаётся выбрать k−1 человек среди n−1: C(n−1,k−1). При дополнительных условиях сначала зафиксируйте А, затем учтите исключения и состав групп.

Пример для самопроверки: из девяти кандидатов нужна команда из четырёх, куда обязательно входит Артём. Он уже занимает одно место. Оставшиеся три места заполняются людьми из восьми: C(8,3)=56. Нельзя ещё раз умножать результат на четыре — должности в задаче не назначают.

Вариант А — базовые условия

1. В классе 8 учащихся. Выберите команду из трёх, куда обязательно входит Аня.
2. Из 10 кандидатов выберите пятёрку с обязательной участницей Б.
3. Из 12 ребят выберите пару, причём Витя должен входить в неё.
4. Из 7 участников сформируйте команду из шести с обязательным капитаном А, роли прочих не различаются.
5. Среди 9 учеников выбирают четверых с А, но Дима участвовать не может.
6. Из 11 участников выбирают троих; А и Б обязательны.
7. Среди 8 учеников выберите четверых с А, причём Б и В одновременно в команде быть не могут.
8. Из 6 человек соберите команду из одного человека, обязательно включив А.

Вариант Б — изменённые ограничения

9. Из 10 учеников нужна команда из трёх с обязательным А. Дополнительно выбирается один из двух возможных значков для всей команды. Сколько исходов?
10. Из 9 кандидатов выберите пятёрку с А, но из трёх спортсменов в неё должен войти ровно один (А не спортсмен).
11. Среди 11 участников выберите команду из четырёх с А и хотя бы с одним из Б и В.
12. Из 8 учащихся выбирают троих с А. В команду нельзя включать одновременно Б и В.
13. Из 12 учеников соберите пятёрку с А; два указанных ученика Б и В не должны входить.
14. Из 7 школьников соберите четвёрку, куда обязательно входит А; допускается только один из Б и В (ровно один).
15. Из 10 человек выберите четверых с А. Порядок выбора не важен. Ученик получил 9·8·7. Во сколько раз он завысил ответ?
16. Из 9 участников выберите пятёрку с А, а затем назначьте из остальных четверых одного секретарём. Сколько вариантов?

Ключ для учителя и порядок проверки

Ответы варианта А

• 1. C(7,2)=21.
• 2. C(9,4)=126.
• 3. C(11,1)=11.
• 4. C(6,5)=6.
• 5. Кандидат Д исключён: C(7,3)=35.
• 6. Оба зафиксированы: C(9,1)=9.
• 7. C(7,3)−C(5,1)=35−5=30; вычтены команды, содержащие А, Б и В одновременно.
• 8. Единственная команда {А}: 1.

Ответы варианта Б

• 9. C(9,2)·2=36·2=72. Значок — отдельный различимый признак.
• 10. C(3,1)·C(5,3)=3·10=30 (А уже в команде).
• 11. C(10,3)−C(8,3)=120−56=64.
• 12. C(7,2)−1=20; запрещена единственная пара Б и В среди двух остальных.
• 13. C(9,4)=126, так как А фиксирован, а Б и В исключены.
• 14. C(2,1)·C(4,2)=2·6=12.
• 15. 9·8·7=504, C(9,3)=84; результат завышен в 6 раз (3!).
• 16. C(8,4)·4=70·4=280. Здесь назначение секретаря добавляет порядок роли.

Оценивание: за каждую задачу — 2 балла (1 за правильную модель, 1 за число), всего 32. Если итоговое число верно, но ученик не зафиксировал обязательного участника, попросите пояснение: угаданная формула не всегда сохранится при изменении условия. Для вариантов 7 и 11 обязательно показать вычитание запрещённых команд.

Типичные ошибки: (1) повторно выбирать уже обязательного А; (2) делить сочетание на факториал; (3) путать «хотя бы одного» и «ровно одного» из указанной пары; (4) забывать, что должности делают часть командных исходов различимыми. В задаче 16 секретарь назначается после выбора состава, поэтому для каждой пятёрки есть ровно четыре варианта должности.

Как оформить решение на проверочной работе

Для учителя удобна одинаковая последовательность оценки, но не одинаковый способ решения: ученик сначала подчёркивает общее число кандидатов, размер команды и обязательного участника. Затем в одной строке пишет, сколько людей уже выбрано и сколько ещё нужно выбрать. В заданиях с исключениями важно явно обозначить, каких участников удаляют из списка кандидатов; в задачах с условием «ровно один» — перечислить все взаимоисключающие категории выбора. Только после этого следует вычислять сочетания.

Во втором варианте задача 11 требует рассмотреть две группы исходов: команды без Б и без В и команды с хотя бы одним из них. Эти группы дополняют друг друга в множестве всех команд, содержащих А. Поэтому вычитание C(8,3) из C(10,3) обосновано. Задача 14 устроена иначе: из пары Б и В выбирается именно один человек, так что ветви «взяли Б» и «взяли В» не пересекаются. В каждой ветви два оставшихся места заполняются из четырёх других школьников.

В задаче 15 ошибка обнаруживается обратной проверкой: 84 различных состава можно записать в 3! порядках, и именно так получаются исходные 504 записи. В задаче 16 число ролей влияет на конечный результат; если секретаря назначать не нужно, остаются только 70 составов. Условие «А обязательно входит» сохраняется в обоих случаях. Это сравнение показывает, когда дополнительные признаки дают новый множитель, а когда — незаконно раздувают счёт.

Для самостоятельной сверки достаточно небольшой таблицы с тремя колонками: «участник А уже входит», «сколько дополнительных людей выбрать», «из какого множества». Например, при n=10 и k=5 остаётся выбрать четырёх из девяти, а не пятерых из десяти. В условиях, где исключён Д, множество кандидатов для оставшихся мест дополнительно сокращается на одного. В условиях с несколькими обязательными людьми уменьшается не только число доступных кандидатов, но и число незаполненных мест. Внимательная запись этих двух чисел предотвращает большинство ошибок до вычисления сочетаний.