Восстановление числителя из неравенства при ограничении на знаменатель — карточки с ответами, 5 класс

Математика, 5 класс. 16 заданий, два варианта: ограниченный выбор знаменателя и строгие дробные неравенства.

Два способа ограничить знаменатель

В этой карточке неизвестен числитель x, но знаменатель d не выбирается произвольно. В первом варианте он может принимать только два названных значения. Во втором варианте d — любое целое число внутри небольшого интервала. В обоих случаях дробь правильная: 0 < x < d; оба сравнения с границами строгие.

Если L < x/d < U и d > 0, то после умножения на d имеем L·d < x < U·d. Значит, решение строится по каждому разрешённому знаменателю отдельно. Пример: 2/5 < x/6 < 3/4; после умножения на 6: 12/5 < x < 9/2, поэтому x = 3 или x = 4.

Вариант A · знаменатель выбирается из двух чисел

Для каждого задания приведите все подходящие дроби и сгруппируйте ответы по знаменателю. Указанное условие на числитель обязательно.

1. 2/5 < x/d < 3/4, d ∈ {6, 7}; дополнительное условие: любой.
2. 1/3 < x/d < 3/5, d ∈ {8, 9}; дополнительное условие: чётный x.
3. 3/8 < x/d < 5/7, d ∈ {7, 10}; дополнительное условие: нечётный x.
4. 4/9 < x/d < 3/4, d ∈ {9, 11}; дополнительное условие: любой.
5. 2/7 < x/d < 4/5, d ∈ {10, 12}; дополнительное условие: чётный x.
6. 5/12 < x/d < 7/10, d ∈ {8, 13}; дополнительное условие: нечётный x.
7. 3/7 < x/d < 4/5, d ∈ {11, 14}; дополнительное условие: любой.
8. 5/11 < x/d < 6/7, d ∈ {12, 15}; дополнительное условие: чётный x.

Вариант Б · знаменатель лежит в интервале

Здесь вариантов знаменателя больше. Переберите значения от нижней границы до верхней включительно, в каждом случае вычислите допустимые числители и проверьте условие о чётности или несократимости. Не сокращайте дробь до проверки исходного знаменателя.

9. 1/3 < x/d < 2/3, 4 ≤ d ≤ 7; дополнительное условие: несократимая.
10. 2/5 < x/d < 4/5, 5 ≤ d ≤ 8; дополнительное условие: нечётный x.
11. 3/8 < x/d < 5/6, 6 ≤ d ≤ 9; дополнительное условие: чётный x.
12. 1/4 < x/d < 3/5, 7 ≤ d ≤ 10; дополнительное условие: несократимая.
13. 4/9 < x/d < 7/8, 8 ≤ d ≤ 11; дополнительное условие: нечётный x.
14. 3/10 < x/d < 3/4, 9 ≤ d ≤ 12; дополнительное условие: чётный x.
15. 5/12 < x/d < 5/6, 10 ≤ d ≤ 13; дополнительное условие: несократимая.
16. 2/7 < x/d < 4/5, 11 ≤ d ≤ 14; дополнительное условие: нечётный x.

Ключ для взаимной проверки

1. при d = 6: 3/6, 4/6; при d = 7: 3/7, 4/7, 5/7. Для каждого d: 36/5 < x < 27/2 при d = 6, затем аналогично при d = 7. Строгие границы проверены.
2. при d = 8: 4/8; при d = 9: 4/9. Для каждого d: 6 < x < 54/5 при d = 8, затем аналогично при d = 9. Условие на x проверено.
3. при d = 7: 3/7; при d = 10: 5/10, 7/10. Для каждого d: 27/4 < x < 90/7 при d = 7, затем аналогично при d = 10. Условие на x проверено.
4. при d = 9: 5/9, 6/9; при d = 11: 5/11, 6/11, 7/11, 8/11. Для каждого d: 8 < x < 27/2 при d = 9, затем аналогично при d = 11. Строгие границы проверены.
5. при d = 10: 4/10, 6/10; при d = 12: 4/12, 6/12, 8/12. Для каждого d: 36/7 < x < 72/5 при d = 10, затем аналогично при d = 12. Условие на x проверено.
6. при d = 8: 5/8; при d = 13: 7/13, 9/13. Для каждого d: 15/2 < x < 63/5 при d = 8, затем аналогично при d = 13. Условие на x проверено.
7. при d = 11: 5/11, 6/11, 7/11, 8/11; при d = 14: 7/14, 8/14, 9/14, 10/14, 11/14. Для каждого d: 54/7 < x < 72/5 при d = 11, затем аналогично при d = 14. Строгие границы проверены.
8. при d = 12: 6/12, 8/12, 10/12; при d = 15: 8/15, 10/15, 12/15. Для каждого d: 90/11 < x < 108/7 при d = 12, затем аналогично при d = 15. Условие на x проверено.

9. d = 4: нет; d = 5: x = 2, x = 3; d = 6: нет; d = 7: x = 3, x = 4. Получено 4 пар (d, x); каждая удовлетворяет 1/3·d < x < 2/3·d. Для несократимой дроби дополнительно проверен НОД числителя и знаменателя.
10. d = 5: x = 3; d = 6: x = 3; d = 7: x = 3, x = 5; d = 8: x = 5. Получено 5 пар (d, x); каждая удовлетворяет 2/5·d < x < 4/5·d. Дополнительное ограничение на чётность числителя учтено.
11. d = 6: x = 4; d = 7: x = 4; d = 8: x = 4, x = 6; d = 9: x = 4, x = 6. Получено 6 пар (d, x); каждая удовлетворяет 3/8·d < x < 5/6·d. Дополнительное ограничение на чётность числителя учтено.
12. d = 7: x = 2, x = 3, x = 4; d = 8: x = 3; d = 9: x = 4, x = 5; d = 10: x = 3. Получено 7 пар (d, x); каждая удовлетворяет 1/4·d < x < 3/5·d. Для несократимой дроби дополнительно проверен НОД числителя и знаменателя.
13. d = 8: x = 5; d = 9: x = 5, x = 7; d = 10: x = 5, x = 7; d = 11: x = 5, x = 7, x = 9. Получено 8 пар (d, x); каждая удовлетворяет 4/9·d < x < 7/8·d. Дополнительное ограничение на чётность числителя учтено.
14. d = 9: x = 4, x = 6; d = 10: x = 4, x = 6; d = 11: x = 4, x = 6, x = 8; d = 12: x = 4, x = 6, x = 8. Получено 10 пар (d, x); каждая удовлетворяет 3/10·d < x < 3/4·d. Дополнительное ограничение на чётность числителя учтено.
15. d = 10: x = 7; d = 11: x = 5, x = 6, x = 7, x = 8, x = 9; d = 12: x = 7; d = 13: x = 6, x = 7, x = 8, x = 9, x = 10. Получено 12 пар (d, x); каждая удовлетворяет 5/12·d < x < 5/6·d. Для несократимой дроби дополнительно проверен НОД числителя и знаменателя.
16. d = 11: x = 5, x = 7; d = 12: x = 5, x = 7, x = 9; d = 13: x = 5, x = 7, x = 9; d = 14: x = 5, x = 7, x = 9, x = 11. Получено 12 пар (d, x); каждая удовлетворяет 2/7·d < x < 4/5·d. Дополнительное ограничение на чётность числителя учтено.

Разбор неоднозначного ответа

Если допустимы два знаменателя, может получиться одинаковое значение дроби в двух разных записях. Но в задании восстанавливается числитель при исходном разрешённом знаменателе. Поэтому нельзя автоматически заменить x/8 на сокращённую дробь x/4 и считать, что знаменатель остался разрешённым. В варианте с несократимостью ситуация обратная: перед ответом обязательно проверяется НОД(x, d) = 1.

Для проверки друг друга можно поменяться тетрадями: один ученик сопоставляет список разрешённых знаменателей с ответом, другой проверяет целые значения x и строгие границы, третий ищет нарушения дополнительного условия. Полный ответ содержит все допустимые пары (d, x) без пропусков и без неразрешённых значений.