Восстановление числителя из неравенства с соседними знаменателями — проверочная работа по математике, 5 класс

Математика, 5 класс. Проверочная работа по модели с двенадцатью группами данных и четырнадцатью вопросами.

Ситуация: доля заполненных клеток

На школьной выставке разные группы заполняют листы с одинаковым количеством столбцов и разным числом строк. Условная доля заполнения записана дробью. На соседних по размеру листах знаменатели равны d и d + 1. Для среднего листа число заполненных клеток x неизвестно. Нужно восстановить x так, чтобы доля x/(d + 1) находилась строго между заданными границами a/d и c/d.

Все дроби в таблице меньше единицы, поэтому x — натуральное число меньше d + 1. Если в графе ограничений стоит «чётный» или «нечётный», это дополнительное требование к x. Таблица содержит двенадцать независимых измерений; названия групп служат только обозначением наборов данных.

Таблица исходных данных

Проверочная работа: 14 вопросов

Для каждой из двенадцати групп запишите полное множество допустимых числителей, а не только первый найденный. Например, дробь x/8 между 2/7 и 4/7 требует 16/7 < x < 32/7, поэтому x может равняться 3 или 4. Оба значения надо проверить подстановкой.

1. Группа 1. Восстановите все возможные значения x, запишите их по возрастанию и проверьте строгость обеих границ.
2. Группа 2. Восстановите все возможные значения x, запишите их по возрастанию и проверьте строгость обеих границ.
3. Группа 3. Восстановите все возможные значения x, запишите их по возрастанию и проверьте строгость обеих границ.
4. Группа 4. Восстановите все возможные значения x, запишите их по возрастанию и проверьте строгость обеих границ.
5. Группа 5. Восстановите все возможные значения x, запишите их по возрастанию и проверьте строгость обеих границ.
6. Группа 6. Восстановите все возможные значения x, запишите их по возрастанию и проверьте строгость обеих границ.
7. Группа 7. Восстановите все возможные значения x, запишите их по возрастанию и проверьте строгость обеих границ.
8. Группа 8. Восстановите все возможные значения x, запишите их по возрастанию и проверьте строгость обеих границ.
9. Группа 9. Восстановите все возможные значения x, запишите их по возрастанию и проверьте строгость обеих границ.
10. Группа 10. Восстановите все возможные значения x, запишите их по возрастанию и проверьте строгость обеих границ.
11. Группа 11. Восстановите все возможные значения x, запишите их по возрастанию и проверьте строгость обеих границ.
12. Группа 12. Восстановите все возможные значения x, запишите их по возрастанию и проверьте строгость обеих границ.
13. Сравните группы 1 и 2: почему дополнительные условия на чётность могут убрать допустимый числитель, но не могут добавить новый?
14. Сформулируйте алгоритм для произвольной строки таблицы, используя умножение на положительный знаменатель d + 1.

Математическая модель

Исходное двойное неравенство имеет вид a/d < x/(d + 1) < c/d. Поскольку d и d + 1 положительны, можно умножить его на d + 1, не меняя направления знаков: a(d + 1)/d < x < c(d + 1)/d. Далее ищутся целые x строго внутри интервала. Для каждой найденной дроби сохраняется 0 < x < d + 1.

Ответы, проверка и разбор

1. Числители: 3, 4, 5. Границы после умножения: 16/7 < x < 40/7. Подстановка: 2/7 < 3/8 < 5/7; 2/7 < 4/8 < 5/7; 2/7 < 5/8 < 5/7.
2. Числители: 4. Границы после умножения: 27/8 < x < 45/8. Сохраняем только чётный x. Подстановка: 3/8 < 4/9 < 5/8.
3. Числители: 5. Границы после умножения: 10/3 < x < 50/9. Сохраняем только нечётный x. Подстановка: 3/9 < 5/10 < 5/9.
4. Числители: 4, 5. Границы после умножения: 33/10 < x < 11/2. Подстановка: 3/10 < 4/11 < 5/10; 3/10 < 5/11 < 5/10.
5. Числители: 6. Границы после умножения: 48/11 < x < 84/11. Сохраняем только чётный x. Подстановка: 4/11 < 6/12 < 7/11.
6. Числители: 5. Границы после умножения: 13/3 < x < 13/2. Сохраняем только нечётный x. Подстановка: 4/12 < 5/13 < 6/12.
7. Числители: 5, 6. Границы после умножения: 56/13 < x < 84/13. Подстановка: 4/13 < 5/14 < 6/13; 4/13 < 6/14 < 6/13.
8. Числители: 6. Границы после умножения: 75/14 < x < 15/2. Сохраняем только чётный x. Подстановка: 5/14 < 6/15 < 7/14.
9. Числители: 7. Границы после умножения: 16/3 < x < 128/15. Сохраняем только нечётный x. Подстановка: 5/15 < 7/16 < 8/15.
10. Числители: 6, 7. Границы после умножения: 85/16 < x < 119/16. Подстановка: 5/16 < 6/17 < 7/16; 5/16 < 7/17 < 7/16.
11. Числители: 8. Границы после умножения: 108/17 < x < 144/17. Сохраняем только чётный x. Подстановка: 6/17 < 8/18 < 8/17.
12. Числители: 7. Границы после умножения: 19/3 < x < 76/9. Сохраняем только нечётный x. Подстановка: 6/18 < 7/19 < 8/18.

Обсуждение вопросов 13–14

13. Дополнительное условие сужает множество решений. Если числитель должен быть чётным, все нечётные значения исключаются, хотя они могли удовлетворять исходным двум дробным границам; новых значений при этом не появляется.

14. Алгоритм: определить соседние знаменатели d и d + 1; умножить двойное неравенство на положительное число d + 1; выписать все целые x внутри строгого интервала; оставить только значения, удовлетворяющие дополнительному условию; проверить дроби подстановкой. При равенстве хотя бы одной границе ответ исключается.

Проверка разумности: неизвестное число заполненных клеток не может быть отрицательным либо превышать число клеток в выбранной доле. Если вычисление даёт x = 0 или x = d + 1, такая строка противоречит условию о положительной правильной дроби. Особая опасность — округлять дробную границу как обычный школьный результат: при строгом неравенстве нужно выбрать строго большее или меньшее целое число.