Восстановление числителя из неравенства в задаче с несколькими промежуточными долями — упражнения разной сложности, 5 класс

5 класс · 16 упражнений с несколькими промежуточными долями. Здесь неизвестен только числитель a, а знаменатель указан. Число a должно одновременно сохранить правильный порядок всех пяти дробей в цепочке.

Разобранный пример: проверяем условие с обеих сторон

Дано: 1/6 < 1/4 < a/24 < 3/8 < 1/2. Первая и последняя дроби показывают общий порядок, но неизвестный числитель ограничен ближайшими долями: 1/4 < a/24 < 3/8. Умножим сравнения на положительное 24: 6 < a < 9. Подходят a = 7 и a = 8.

Обратная проверка: при a = 7 имеем 1/4 = 6/24 < 7/24 < 9/24 = 3/8. При a = 8 также 6/24 < 8/24 < 9/24. При a = 6 нижнее сравнение стало бы равенством, поэтому число не подходит; a = 9 — верхняя граница, тоже запрещена.

Если числитель a натуральный и дробь должна быть правильной, дополнительно нужно 1 ≤ a < 24. Здесь оба найденных числа это условие выполняют. Нельзя при сравнении умножать лишь одну часть цепочки и оставлять другую неизменной: так появляются противоречивые выводы.

Что изменится, если учитель сдвинет границу?

В той же цепочке заменим внутреннюю верхнюю долю 3/8 на 1/3. Теперь 1/4 < a/24 < 1/3, откуда 6 < a < 8. Остаётся только a = 7. Ответ уменьшился не потому, что поменялся знаменатель, а потому, что правая граница стала ниже. Сравните это с вариантом, когда правую границу, наоборот, повышают: допустимых числителей может стать больше.

Основная серия — восстановите числители

Для каждого пункта запишите короткое неравенство для a и перечислите все целые подходящие числители. Проверку проводите по исходной цепочке, а не по приблизительным десятичным значениям. Для удобства задания расположены от коротких отрезков до случаев с несколькими вариантами.

1. Восстановите все числители a при знаменателе 24: 1/5 < 1/4 < a/24 < 1/3 < 2/5. Укажите, если решения нет.
2. Восстановите все числители a при знаменателе 30: 1/6 < 1/5 < a/30 < 1/3 < 3/8. Укажите, если решения нет.
3. Восстановите все числители a при знаменателе 36: 1/7 < 2/9 < a/36 < 1/3 < 2/5. Укажите, если решения нет.
4. Восстановите все числители a при знаменателе 40: 1/5 < 1/4 < a/40 < 3/10 < 1/3. Укажите, если решения нет.
5. Восстановите все числители a при знаменателе 42: 1/6 < 2/7 < a/42 < 1/3 < 3/8. Укажите, если решения нет.
6. Восстановите все числители a при знаменателе 48: 2/9 < 1/4 < a/48 < 1/3 < 3/7. Укажите, если решения нет.
7. Восстановите все числители a при знаменателе 54: 1/5 < 2/9 < a/54 < 5/18 < 1/3. Укажите, если решения нет.
8. Восстановите все числители a при знаменателе 60: 1/8 < 1/5 < a/60 < 1/4 < 2/7. Укажите, если решения нет.
9. Восстановите все числители a при знаменателе 28: 1/7 < 1/4 < a/28 < 2/7 < 1/3. Укажите, если решения нет.
10. Восстановите все числители a при знаменателе 63: 1/7 < 2/9 < a/63 < 1/3 < 3/8. Укажите, если решения нет.
11. Восстановите все числители a при знаменателе 72: 1/5 < 1/4 < a/72 < 7/24 < 1/3. Укажите, если решения нет.
12. Восстановите все числители a при знаменателе 84: 1/7 < 1/4 < a/84 < 2/7 < 1/3. Укажите, если решения нет.
13. Восстановите все числители a при знаменателе 32: 1/8 < 3/16 < a/32 < 1/4 < 1/3. Укажите, если решения нет.
14. Восстановите все числители a при знаменателе 45: 1/5 < 2/9 < a/45 < 1/3 < 2/5. Укажите, если решения нет.

Изменение исходных данных — задания 15–16

Не пересчитывайте все предыдущие примеры: измените только указанную внутреннюю границу и покажите, как это отразится на ответе.

15. В задании 1 оставьте знаменатель 24 и остальные доли без изменений, но замените 1/3 на 3/8. Новая цепочка: 1/5 < 1/4 < a/24 < 3/8 < 2/5. Сравните новое множество a с ответом задания 1.
16. В задании 8 верхнюю внутреннюю границу 1/4 замените на 7/30: 1/8 < 1/5 < a/60 < 7/30 < 2/7. Сколько числителей исчезло?

Ответы и обратные проверки

Проверяйте строго: если L < a/D < U, то DL < a < DU при D > 0. Значения a выбираются натуральными. При попадании в точную границу число не включают. В данных упражнениях внешние доли гарантированно находятся по нужным сторонам внутренних: они являются частью полного требования, хотя вычислять пределы a помогают прежде всего ближайшие соседи.

1. Главные внутренние границы: 1/4 < a/24 < 1/3, то есть 6/1 < a < 8/1. Допустимые натуральные a: 7. Внешние доли уже упорядочены и не отменяют внутренние.
2. Главные внутренние границы: 1/5 < a/30 < 1/3, то есть 6/1 < a < 10/1. Допустимые натуральные a: 7, 8, 9. Внешние доли уже упорядочены и не отменяют внутренние.
3. Главные внутренние границы: 2/9 < a/36 < 1/3, то есть 8/1 < a < 12/1. Допустимые натуральные a: 9, 10, 11. Внешние доли уже упорядочены и не отменяют внутренние.
4. Главные внутренние границы: 1/4 < a/40 < 3/10, то есть 10/1 < a < 12/1. Допустимые натуральные a: 11. Внешние доли уже упорядочены и не отменяют внутренние.
5. Главные внутренние границы: 2/7 < a/42 < 1/3, то есть 12/1 < a < 14/1. Допустимые натуральные a: 13. Внешние доли уже упорядочены и не отменяют внутренние.
6. Главные внутренние границы: 1/4 < a/48 < 1/3, то есть 12/1 < a < 16/1. Допустимые натуральные a: 13, 14, 15. Внешние доли уже упорядочены и не отменяют внутренние.
7. Главные внутренние границы: 2/9 < a/54 < 5/18, то есть 12/1 < a < 15/1. Допустимые натуральные a: 13, 14. Внешние доли уже упорядочены и не отменяют внутренние.
8. Главные внутренние границы: 1/5 < a/60 < 1/4, то есть 12/1 < a < 15/1. Допустимые натуральные a: 13, 14. Внешние доли уже упорядочены и не отменяют внутренние.
9. Главные внутренние границы: 1/4 < a/28 < 2/7, то есть 7/1 < a < 8/1. Допустимые натуральные a: нет. Внешние доли уже упорядочены и не отменяют внутренние.
10. Главные внутренние границы: 2/9 < a/63 < 1/3, то есть 14/1 < a < 21/1. Допустимые натуральные a: 15, 16, 17, 18, 19, 20. Внешние доли уже упорядочены и не отменяют внутренние.
11. Главные внутренние границы: 1/4 < a/72 < 7/24, то есть 18/1 < a < 21/1. Допустимые натуральные a: 19, 20. Внешние доли уже упорядочены и не отменяют внутренние.
12. Главные внутренние границы: 1/4 < a/84 < 2/7, то есть 21/1 < a < 24/1. Допустимые натуральные a: 22, 23. Внешние доли уже упорядочены и не отменяют внутренние.
13. Главные внутренние границы: 3/16 < a/32 < 1/4, то есть 6/1 < a < 8/1. Допустимые натуральные a: 7. Внешние доли уже упорядочены и не отменяют внутренние.
14. Главные внутренние границы: 2/9 < a/45 < 1/3, то есть 10/1 < a < 15/1. Допустимые натуральные a: 11, 12, 13, 14. Внешние доли уже упорядочены и не отменяют внутренние.

Ответ 15

После повышения верхней внутренней границы до 3/8 получаем 6 < a < 9. Ответ — 7, 8. В первоначальном задании 1 было 7: появился дополнительный числитель.

Ответ 16

Новая верхняя граница 7/30 равна 14/60. Условия: 12 < a < 14. Поэтому a = 13. В задании 8 было 13, 14; исчезло 1 допустимое значение.

Почему возникают неправильные решения

Ошибка «достаточно проверить один край». Если 1/4 < a/24, нельзя сразу записывать все a > 6: большие числа могут нарушать верхнюю границу. Допустимая область — пересечение ограничений, а не одно из них.

Ошибка «округлим и включим край». Если произведение D × U оказалось целым, это число не входит в ответ при строгом знаке <. Если произведение не целое, берут ближайшее меньшее целое сверху допустимой области; для нижней границы — ближайшее большее.

Ошибка «промежуточная дробь необязательна». Цепочка не просто перечисляет числа: все сравнения должны выполняться одновременно. Именно поэтому при правке одной промежуточной доли требуется заново проверить общий порядок.

Совет для взаимопроверки: обменяйтесь ответами и для каждого найденного a выпишите эквивалентные дроби с общим знаменателем. Если варианты отличаются на одно число, сначала проверяйте равенство границе, а не спорьте о приблизительном значении.