Восстановление делимого при заданном частном и разности: задачи с решениями для 5 класса

Мини-тест для 5 класса: восстановление делимого по известному неполному частному и разности между делимым и делителем. Для определённости в каждом задании известен также остаток. Формулировка разности здесь однозначна: это именно делимое минус делитель, а не разность частного и остатка.

Памятка перед мини-тестом

Обозначим делимое N, делитель d, неполное частное q, остаток r, заданную разность Δ = N − d. По смыслу деления N = d × q + r, значит Δ = d × (q − 1) + r. Отсюда при q > 1: d = (Δ − r) : (q − 1), затем N = d + Δ. Нужно проверить: d — натуральное целое число, 0 ≤ r < d, а также N = d × q + r.

Выполняйте вычисления без калькулятора. В тесте 12 вопросов разной формы: прямой поиск, выбор ответа, поиск ошибки и восстановление условия. За каждый полностью правильный ответ — 1 балл.

Часть А — найдите делимое самостоятельно

1. Неполное частное q = 4, остаток r = 3, разность Δ = N − d равна 39. Определите делитель d и делимое N; проверьте условие об остатке.

2. Неполное частное q = 6, остаток r = 7, разность Δ = N − d равна 82. Определите делитель d и делимое N; проверьте условие об остатке.

3. Неполное частное q = 9, остаток r = 0, разность Δ = N − d равна 64. Определите делитель d и делимое N; проверьте условие об остатке.

4. Неполное частное q = 5, остаток r = 11, разность Δ = N − d равна 107. Определите делитель d и делимое N; проверьте условие об остатке.

5. Неполное частное q = 7, остаток r = 17, разность Δ = N − d равна 125. Определите делитель d и делимое N; проверьте условие об остатке.

6. Неполное частное q = 3, остаток r = 6, разность Δ = N − d равна 96. Определите делитель d и делимое N; проверьте условие об остатке.

Часть Б — выберите корректное решение

7. При q = 8, r = 4 и Δ = 116 какое делимое соответствует условию: А) 148; Б) 132; В) 131? Обоснуйте выбор двумя равенствами.

8. При q = 11, r = 5 и Δ = 125 какое делимое соответствует условию: А) 149; Б) 137; В) 136? Обоснуйте выбор двумя равенствами.

9. При q = 5, r = 31 и Δ = 159 какое делимое соответствует условию: А) 223; Б) 191; В) 190? Обоснуйте выбор двумя равенствами.

Часть В — проверьте спорный ответ

10. Ученик заявил, что при q = 10, r = 2, Δ = 155 делимое равно 172. Верно ли это? Если нет, исправьте число и покажите проверку.

11. Ученик заявил, что при q = 6, r = 0, Δ = 105 делимое равно 127. Верно ли это? Если нет, исправьте число и покажите проверку.

12. Ученик заявил, что при q = 12, r = 9, Δ = 163 делимое равно 163. Верно ли это? Если нет, исправьте число и покажите проверку.

Правильные ответы и расчёты

1. d = (39 − 3) : (4 − 1) = 12; N = 12 + 39 = 51. Контроль: 12 × 4 + 3 = 51; 3 < 12.

2. d = (82 − 7) : (6 − 1) = 15; N = 15 + 82 = 97. Контроль: 15 × 6 + 7 = 97; 7 < 15.

3. d = (64 − 0) : (9 − 1) = 8; N = 8 + 64 = 72. Контроль: 8 × 9 + 0 = 72; 0 < 8.

4. d = (107 − 11) : (5 − 1) = 24; N = 24 + 107 = 131. Контроль: 24 × 5 + 11 = 131; 11 < 24.

5. d = (125 − 17) : (7 − 1) = 18; N = 18 + 125 = 143. Контроль: 18 × 7 + 17 = 143; 17 < 18.

6. d = (96 − 6) : (3 − 1) = 45; N = 45 + 96 = 141. Контроль: 45 × 3 + 6 = 141; 6 < 45.

7. d = (116 − 4) : (8 − 1) = 16; N = 16 + 116 = 132. Контроль: 16 × 8 + 4 = 132; 4 < 16.

8. d = (125 − 5) : (11 − 1) = 12; N = 12 + 125 = 137. Контроль: 12 × 11 + 5 = 137; 5 < 12.

9. d = (159 − 31) : (5 − 1) = 32; N = 32 + 159 = 191. Контроль: 32 × 5 + 31 = 191; 31 < 32.

10. d = (155 − 2) : (10 − 1) = 17; N = 17 + 155 = 172. Контроль: 17 × 10 + 2 = 172; 2 < 17.

11. d = (105 − 0) : (6 − 1) = 21; N = 21 + 105 = 126. Контроль: 21 × 6 + 0 = 126; 0 < 21.

12. d = (163 − 9) : (12 − 1) = 14; N = 14 + 163 = 177. Контроль: 14 × 12 + 9 = 177; 9 < 14.

Разбор пограничных случаев

В задаче 3 остаток равен нулю. Это не ошибка: деление может быть выполнено нацело, а неполное частное при этом остаётся целым числом. Из Δ = 64 и q = 9 получаем d = 64 : 8 = 8; N = 8 + 64 = 72. Действительно, 72 : 8 = 9.

В задаче 5 остаток 17 при делителе 18 допустим. Число остатка почти равно делителю, но строго меньше него, поэтому деление оформлено правильно. Подмена остатка на 18 уже нарушила бы определение: пришлось бы изменить неполное частное.

Баллы и следующий шаг

12 баллов — отличное владение задачей; 10–11 — одна-две вычислительные неточности; 7–9 — стоит повторить переход от разности Δ к делителю; 0–6 — начните с формулы N = d × q + r и потренируйте деление с остатком на простых числах. Особое внимание уделяйте знаменателю q − 1: именно здесь часто ошибочно пишут q.