Восстановление границы интегрирования при разбиении отрезка на участки — рабочий лист для 11 класса

Начните с неверного решения

Ученик получил ∫₀¹¹ h(x) dx = 3 − 2 + 6 + 4 = 11. Поясните, какой знак он потерял. Затем восстановите неизвестные границы t по суммам интегралов. В этой карточке t выбирается только из узлов разбиения {0; 2; 5; 9; 11}; иначе заданных данных недостаточно, чтобы искать t внутри участков.

Известны интегралы одной интегрируемой функции h по соседним отрезкам: ∫₀² h = 3; ∫₂⁵ h = −2; ∫₅⁹ h = 6; ∫₉¹¹ h = −4. Это не значит, что h постоянна: известны только суммарные значения интегралов.

Пять типичных ошибок — найдите и исправьте

1. Ученик сложил 3−2+6+4 и получил 11. Найдите ∫₀¹¹ h и укажите ошибку.
2. Ученик считает: ∫₀⁹ h = 3−2−6 = −5. Исправьте знак третьего слагаемого.
3. Ученик решил ∫₂ᵗ h = 4 и написал t=5. Проверьте вычислением и восстановите t.
4. Ученик заявил, что из ∫₀ᵗ h = 3 следует единственное t=2. Проверьте все узлы.
5. Ученик получил ∫₉² h = +4. Исправьте направление и проверьте по сумме от 2 до 9.

Самостоятельная серия: восстановите границу

Во всех оставшихся заданиях ответом может быть несколько узлов. Не подставляйте неуказанные точки: значение интеграла внутри каждого отрезка пока неизвестно.

6. Восстановите t по условию ∫₀ᵗ h = 1.
7. Определите t, если ∫₀ᵗ h = 7.
8. Назовите все t из заданных узлов, если ∫₀ᵗ h = 3.
9. Восстановите t из условия ∫₂ᵗ h = −2.
10. Найдите t, при котором ∫₅ᵗ h = 6.
11. Известно ∫₉ᵗ h = −4. Перечислите все подходящие узловые значения t.
12. Какая граница t даёт ∫₀ᵗ h = 0?
13. Найдите t из условия ∫₅ᵗ h = 2.
14. Если ∫ᵗ⁹ h = 6, чему равна граница t?
15. Если ∫ᵗ⁹ h = 4, восстановите t.
16. Определите все t, при которых ∫ᵗ¹¹ h = 0.

Ключ и объяснение ошибок

• № 1. Правильно 3: 3−2+6−4=3. Последний интеграл равен −4, знак менять нельзя.
• № 2. Правильно 7: 3−2+6=7; значение участка [5;9] положительное.
• № 3. При t=5 ∫₂⁵ h=−2, а не 4. При t=9 получим −2+6=4, значит t=9.
• № 4. Подходят t=2 и t=11: накопленные суммы в этих узлах совпадают и равны 3.
• № 5. От 2 до 9 сумма −2+6=4, значит ∫₉² h=−4. Перестановка пределов меняет знак.
• № 6. t=5: накопленный интеграл от 0 равен 1.
• № 7. t=9: 3−2+6=7.
• № 8. t=2 или t=11: оба узла дают сумму 3.
• № 9. t=5: ∫₂⁵ h=−2.
• № 10. t=9: известный интеграл ∫₅⁹ h=6.
• № 11. t=2 или t=11: ∫₉² h=−(−2+6)=−4 и ∫₉¹¹ h=−4.
• № 12. t=0: ∫₀⁰ h=0; другие узлы дают 3, 1, 7 и 3.
• № 13. t=11: 6+(−4)=2 на участках [5;9] и [9;11].
• № 14. t=5: ∫₅⁹ h=6.
• № 15. t=2: ∫₂⁹ h=−2+6=4.
• № 16. t=2 или t=11: ∫₂¹¹ h=−2+6−4=0 и ∫₁₁¹¹ h=0.

Взаимная проверка

Составьте накопленные суммы от 0 к каждому узлу: 0, 3, 1, 7, 3. Тогда любой интеграл от a до b равен разности накопленных сумм F(b)−F(a). Сверьте по этой формуле номера 3, 6, 11 и 16: результат должен совпасть со сложением значений по соседним участкам.

Если у двух разных узлов одна накопленная сумма, то обратная задача восстановления границы неоднозначна. Это происходит в № 4 и № 8 не из-за ошибки вычисления, а из-за возврата накопленной суммы к прежнему уровню. Для единственности потребовалось бы дополнительное ограничение на t.

Критерий для учителя: засчитывается не только найденный узел, но и объяснение через сумму участков либо разность накопленных значений. В № 11 и № 16 один узел недостаточен: полным ответом является пара. Такой случай особенно полезен при диагностике механического решения без проверки других границ.