Восстановление коэффициента одночлена при подстановке отрицательных чисел — упражнения разной сложности, 7 класс

Математика, 7 класс. Рабочая карточка MATH-1283. Все задания рассчитаны на письменное выполнение; ответы и объяснения помещены в конце материала.

Подозрительное утверждение: «Если x отрицателен, коэффициент k обязательно отрицательный». Это неверно. Знак зависит не от самого x, а от значения всего произведения степеней, которое делят из полученного результата. Например, для kx² при x = −3 и значении 54 получаем k = 54 : 9 = 6, то есть k положителен.

Почему метод восстановления работает

Пусть числовое значение одночлена kx^ay^b равно V. Сначала вычислим B = x^ay^b. Если B ≠ 0, то уравнение kB = V имеет ровно одно решение: k = V : B. Это не угадывание знака, а деление обеих частей равенства на ненулевое число. Правило можно доказать обратной проверкой: полученное k снова умножают на B и получают V.

Когда x < 0, чётная степень x положительна, а нечётная отрицательна. Если присутствует y, нужно учитывать и его знак, и чётность показателя. Важно сначала вычислить степени в скобках, а уже после выполнять умножение. Запись (−2)⁴ равна 16, но −2⁴ без скобок при обычном порядке действий равна −16.

Разбор трёх возможных ситуаций

Ситуация 1. Числовой множитель B положителен, а значение V отрицательно. Тогда коэффициент непременно отрицателен, потому что отрицательное число получается только при умножении положительного множителя на отрицательное. Это позволяет предсказать знак ответа, ещё не выполняя деление. Ситуация 2. Множитель B отрицателен, а V тоже отрицателен. Тогда k положителен. Наконец, если B отрицателен, но V положителен, то k отрицателен. Во всех трёх случаях модуль находят обычным делением, а знак — по правилу знаков.

При решении полезно отдельно записывать четыре строки: исходное равенство, вычисление степеней, деление для k и обратную проверку. В проверке надо возвращаться к исходным отрицательным значениям аргументов, а не ограничиваться проверкой абстрактного уравнения. Так легче заметить ошибку вроде замены (−3)² на −9. Учитель может попросить одного ученика решить пример письменно, а другого — только предсказать знак и проверить полученный ответ.

Нулевой аргумент заслуживает особого внимания: если хотя бы одна переменная с положительным показателем равна нулю, весь буквенный множитель равен нулю. Тогда из значения V = 0 нельзя определить единственный k; при V ≠ 0 условие противоречиво. Следовательно, формула деления работает не всегда. Именно необходимость проверить B ≠ 0 делает рассуждение доказательством, а не заученным правилом.

Разные уровни: восстановите k и объясните свой ответ

Уровень 1 — один отрицательный аргумент

1. k·x². При x = -3 значение одночлена равно 54. Восстановите k; объясните знак коэффициента.
2. k·x³. При x = -2 значение одночлена равно 40. Восстановите k; объясните знак коэффициента.
3. k·x²·y. При x = -2, y = 3 значение одночлена равно -84. Восстановите k; объясните знак коэффициента.
4. k·x·y². При x = -4, y = -2 значение одночлена равно 96. Восстановите k; объясните знак коэффициента.

Уровень 2 — чётные и нечётные степени двух аргументов

5. k·x³·y². При x = -2, y = -3 значение одночлена равно 216. Восстановите k; объясните знак коэффициента.
6. k·x²·y³. При x = -3, y = -2 значение одночлена равно 648. Восстановите k; объясните знак коэффициента.
7. k·x³·y. При x = -1, y = -5 значение одночлена равно -60. Восстановите k; объясните знак коэффициента.
8. k·x⁴·y. При x = -2, y = -3 значение одночлена равно 240. Восстановите k; объясните знак коэффициента.
9. k·x·y³. При x = -5, y = -2 значение одночлена равно -200. Восстановите k; объясните знак коэффициента.

Уровень 3 — проверка границ применимости метода

10. k·x²·y². При x = -3, y = -4 значение одночлена равно -288. Восстановите k; объясните знак коэффициента.
11. k·x³·y³. При x = -2, y = -1 значение одночлена равно 112. Восстановите k; объясните знак коэффициента.
12. k·x⁵. При x = -2 значение одночлена равно 160. Восстановите k; объясните знак коэффициента.
13. Для одночлена k·x²y известны x = 0, y = −4 и значение 0. Можно ли определить k однозначно?
14. При x = 0 и y = −5 одночлен k·x³y якобы равен 7. Найдите ошибку в условии.

Условие для последних двух пунктов специально отличается от остальных: там встречается нулевой множитель. Нельзя делить на нуль, даже если формально привычная схема «k = V : B» выглядит удобной.

Подробный ключ и обоснование

• 1. Подстановка даёт множитель 9: 54 = k · (9). Следовательно, k = 54 : (9) = 6. Обратная проверка: 9 · (6) = 54.
• 2. Подстановка даёт множитель -8: 40 = k · (-8). Следовательно, k = 40 : (-8) = -5. Обратная проверка: -8 · (-5) = 40.
• 3. Подстановка даёт множитель 12: -84 = k · (12). Следовательно, k = -84 : (12) = -7. Обратная проверка: 12 · (-7) = -84.
• 4. Подстановка даёт множитель -16: 96 = k · (-16). Следовательно, k = 96 : (-16) = -6. Обратная проверка: -16 · (-6) = 96.
• 5. Подстановка даёт множитель -72: 216 = k · (-72). Следовательно, k = 216 : (-72) = -3. Обратная проверка: -72 · (-3) = 216.
• 6. Подстановка даёт множитель -72: 648 = k · (-72). Следовательно, k = 648 : (-72) = -9. Обратная проверка: -72 · (-9) = 648.
• 7. Подстановка даёт множитель 5: -60 = k · (5). Следовательно, k = -60 : (5) = -12. Обратная проверка: 5 · (-12) = -60.
• 8. Подстановка даёт множитель -48: 240 = k · (-48). Следовательно, k = 240 : (-48) = -5. Обратная проверка: -48 · (-5) = 240.
• 9. Подстановка даёт множитель 40: -200 = k · (40). Следовательно, k = -200 : (40) = -5. Обратная проверка: 40 · (-5) = -200.
• 10. Подстановка даёт множитель 144: -288 = k · (144). Следовательно, k = -288 : (144) = -2. Обратная проверка: 144 · (-2) = -288.
• 11. Подстановка даёт множитель 8: 112 = k · (8). Следовательно, k = 112 : (8) = 14. Обратная проверка: 8 · (14) = 112.
• 12. Подстановка даёт множитель -32: 160 = k · (-32). Следовательно, k = 160 : (-32) = -5. Обратная проверка: -32 · (-5) = 160.
• 13. Нельзя: x² = 0, поэтому результат равен нулю при любом k. Уравнение 0·k = 0 имеет бесконечно много решений.
• 14. Такого коэффициента не существует: произведение с нулевым множителем всегда нуль, а не 7. Уравнение 0·k = 7 невозможно.

Что проверить перед сдачей

• Сначала вычислены степени отрицательных чисел с учётом скобок.
• При двух переменных учтены знаки каждого множителя.
• Полученное k проверено обратной подстановкой в исходное выражение.
• В случаях B = 0 правильно различены «любое k» и «нет решений».

Полезное рассуждение для обсуждения: почему одно и то же значение V может соответствовать положительному и отрицательному k в разных одночленах? Потому что числовое произведение степеней при заданных аргументах меняет знак. Не существует единого правила «отрицательный аргумент — отрицательный коэффициент». Для строгого решения нужно каждый раз указать, какой множитель получился после подстановки, почему разрешено деление и какой результат дала обратная проверка.